1.
Na ile części 4 proste mogą podzielić płaszczyznę? Odpowiedź przedstaw w postaci ciągu malejącego. Podaj w formie wyrażenia wykładniczego średnią geometryczną z wyrazów tego ciągu.
2.
Znajdź równanie okręgu stycznego do prostej \(\displaystyle{ y=-2x +4}\) i do osi układu współrzędnych.
3.
Z dwóch wierzchołków kwadratu o boku R zatoczono okręgi o promieniu R dzielące kwadrat na części, z których dwie są symetryczne. Podaj możliwe symetrie miedzy tymi częściami oraz oblicz ich pole.
4.
Jedna z krawędzi ostrosłupa o podstawie kwadratowej o boku 1 jest prostopadła do podstawy i ma długość 4. Znajdź kąty miedzy jego ścianami bocznymi. Następnie ostrosłup tniemy 4 płaszczyznami równoległymi do podstawy na 5 brył o równych objętościach. Podaj wymiary bryły środkowej.
5.
W trójkącie ABC gdzie \(\displaystyle{ \left| AB\right| =5 \ , \ \left| AC\right| =6 \ , \ \left| BC\right| =7}\) znajdź :
- wysokość \(\displaystyle{ \left| CC'\right|}\)
- długość dwusiecznej kąta C zawartej w trójkącie
- długość symetralnej boku AB zawartej w trójkącie
- promień okręgu opisanego na trójkącie
- promień okręgu wpisanego w trójkąt
6.
Boki trójkąta prostokątnego o polu 4 tworzą ciąg geometryczny oblicz stosunek pola okręgu opisanego na trójkącie do pola okręgu wpisanego w trójkąt.
7.
Losujemy trzy różne wierzchołki sześcianu o boku 2. Jakie jest prawdopodobieństwo że wylosowane wierzchołki tworzą trójkąt o polu większym od \(\displaystyle{ \frac{26}{9}}\) ?
8.
Czy istnieje wielokąt wypukły mający : a)27, b)31, c)35, d)3320, e)2003000 przekątnych i jaki to n-kąt?
Kilka zadanek przed maturą.
: 19 lut 2016, o 19:27
autor: Milczek
2. Szukamy punktów przecięcia z osiami i okręgu wpisanego w trójkąt ograniczonymi prostą i osiami układu.
Będę w domciu wrzucę pełne . Obiecuje !
Kilka zadanek przed maturą.
: 19 lut 2016, o 19:41
autor: Kartezjusz
8. Liczbę przekątnych wyznacza wzór \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
Kilka zadanek przed maturą.
: 19 lut 2016, o 19:48
autor: Milczek
6.Oznaczamy boki \(\displaystyle{ a=\frac{x}{k},b=x,c= xk}\)<- przeciwprostokątna. \(\displaystyle{ k}\) to iloraz ciągu geometrycznego.
Lecimy ze wzorami na pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}=\frac{(a+b+c)r}{2}}\) i wykorzystujemy że \(\displaystyle{ 4k=x^2}\)
Stosunek pól tych okręgów to inaczej stosunek promieni okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt : \(\displaystyle{ d=\frac{R}{r}}\)
Na pewno obliczę dokładnie jak będę miał możliwość !
Kilka zadanek przed maturą.
: 20 lut 2016, o 10:52
autor: kmarciniak1
\(\displaystyle{ 1.}\) \(\displaystyle{ 11}\) obszarów gdy każde \(\displaystyle{ 2}\) proste nie są równoległe \(\displaystyle{ 10}\) obszarów gdy dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) proste są równoległe \(\displaystyle{ 8}\) obszarów gdy \(\displaystyle{ 3}\) proste są równoległe \(\displaystyle{ 5}\) obszarów gdy wszystkie \(\displaystyle{ 4}\) są równoległe \(\displaystyle{ 4}\) obszary gdy \(\displaystyle{ 2}\) proste nachodzą na siebie \(\displaystyle{ 3}\) obszary gdy \(\displaystyle{ 3}\) proste nachodzą na siebie \(\displaystyle{ 2}\) obszary gdy wszystkie \(\displaystyle{ 4}\) proste nachodzą na siebie
teraz trochę bardziej kombinowane ułożenia: \(\displaystyle{ 6}\) obszarów gdy \(\displaystyle{ 2}\) proste nachodzą na siebie a pozostałe \(\displaystyle{ 2}\) przecinają się właśnie na tych \(\displaystyle{ 2}\) prostych(nie wiem jak to ładniej zapisać ) \(\displaystyle{ 9}\) obszarów gdy ułożymy proste tak jakbyśmy grali w kółko i krzyżyk(wszyscy wiedzą o co chodzi \(\displaystyle{ 7}\) obszarów będzie wtedy gdy dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) proste nachodzą na siebie i żadne nie są równoległe(czyli tak naprawdę mamy \(\displaystyle{ 3}\) proste i maksymalna liczbę obszarów)
Oczywiście są tez inne ułożenia ale liczba obszarów będzie się powtarzała.
Czyli ostatecznie: \(\displaystyle{ 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2}\)
średnia geometryczna \(\displaystyle{ G=5,755931=39916800 ^{ \frac{1}{10} }}\)
Kilka zadanek przed maturą.
: 20 lut 2016, o 16:46
autor: Kartezjusz
3.Rozważ dwa przypadki.
Wierzchołki łączą bok
Wierzchołki łączą przekatną
Kilka zadanek przed maturą.
: 1 mar 2016, o 21:57
autor: kerajs
9.
Trapez o podstawach \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 2x}\) przecięto prostą do nich równoległą. Wylicz długość odcinka prostej zawartej w trapezie wiedząc że
a) pola obu części trapezu są równe,
b) stosunek ich pól wynosi \(\displaystyle{ 2}\).
10.
Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ 2x^3+3x^2-12x+2\log a=0}\)
w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\).
11.
Wierzchołki wielokąta mają współrzędne \(\displaystyle{ (a,b)}\) które są rozwiązaniem w liczbach naturalnych równania: \(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}= \frac{1}{2}}\).
Czy istnieje okrąg opisany lub okrąg wpisany w ten wielokąt? Jeśli istnieje/istnieją to podaj jego/ich równanie.
12.
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (2,1)}\), która jest styczna do:
a) okręgu: \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
b) paraboli: \(\displaystyle{ y=x^2}\)
c) hiperboli: \(\displaystyle{ y= \frac{4}{x}}\)
d) elipsy: \(\displaystyle{ x^2+2y^2=2}\)
e) krzywej: \(\displaystyle{ (x+y)^2-2(x+3)(y+4)+45=0}\)
13.
Znajdź styczne do obu okręgów:
a) \(\displaystyle{ x^2+y^2=4 \ \ , \ \ (x-2 \sqrt{2} )^2+(y-2 \sqrt{2} )^2=4}\)
b) \(\displaystyle{ x^2+y^2=4 \ \ , \ \ x^2+(y-2)^2=1}\)
14.
Oblicz :
a) ilość cyfr we wszystkich liczbach trzycyfrowych,
b) ilość zer we wszystkich liczbach trzycyfrowych,
b) sumę wszystkich cyfr ze wszystkich liczb trzycyfrowych.
15.
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a, b}\) liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= x^{n}+ax+b}\).
16.
Podaj zbiór wartości funkcji:
a) \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{3} \sin x- \cos x}\)
b) \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1-\sin ^{4}x-\cos ^{4}x }{1-\cos ^{2}x-\sin ^{6}x }}\)
c) \(\displaystyle{ h(x)=\sin \alpha -2\sin ^2 \alpha +4\sin ^3 \alpha -....}\)
d) \(\displaystyle{ k(x)= \frac{\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}\)
Kilka zadanek przed maturą.
: 2 mar 2016, o 15:24
autor: Milczek
Zad \(\displaystyle{ 15}\). Lubię wielomiany więc od tego zacząłem. Generalnie nie dawało mi spokoju od 8:50 mniej więcej
Rozwiązanie :
Musi zachodzić że \(\displaystyle{ n \ge 2}\) \(\displaystyle{ W(x)=x^n+ax+b=x^n-x^2+x^2+ax+b=x^{2}(x^{n-2}-1) + x^2+ax+b}\)
Ok to teraz widać dla \(\displaystyle{ x^2(x^{n-2}-1) = 0}\) liczba \(\displaystyle{ x=1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n-2}\) krotnym.
Lecz teraz szukamy aby \(\displaystyle{ x^2+ax+b=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) ma być pierwiastkiem dwukrotnym. Tutaj już raczej widać że jest to spełnione dla \(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2-2x+1}\) czyli szukane wartości parametrów to \(\displaystyle{ a=-2,b=1}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie i zweryfikowanie czy jest dobrze, napisać tutaj bądź na pw, chcę się ustrzec od błędów.
Kilka zadanek przed maturą.
: 2 mar 2016, o 15:48
autor: kerajs
Ad 15.
Milczek pisze:Ok to teraz widać dla \(\displaystyle{ x^2(x^{n-2}-1) = 0}\) liczba \(\displaystyle{ x=1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n-2}\) krotnym.
To niesłuszny wniosek. Kontrprzykłady: \(\displaystyle{ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)}\)
Prawidłowe podejście: \(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=0 \\ W'(1)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} b=n-1 \\ a=-n \end{cases}}\) \(\displaystyle{ W(x)=x^{n}-nx+n-1}\)
Sprawdź to dla dowolnego n. (np \(\displaystyle{ n=5}\)) dwukrotnie dzieląc wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\)
Ad 2.
Tam może być więcej rozwiązań (może nawet cztery)
Ad 6.
Brakuje jednego równania aby ułożyć oznaczony układ równań.
Kilka zadanek przed maturą.
: 2 mar 2016, o 15:58
autor: Milczek
kerajs, ok widzę , na wytłumaczenie tylko dodam że był to pierwszy pomysł o 8:50 lecz brak tego rozwiązani wynikał z braku wiedzy, pisaliśmy o tym tutaj 403289.htm , co skłania mnie aby wrócić tam do tematu
Edit. Wiemy dodatkowo że \(\displaystyle{ 1+a+b=0}\) co umożliwia rozwiązanie układu.
\(\displaystyle{ 16}\)
Ukryta treść:
a) \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{3} \sin x - \cos x =2(\frac{ \sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x)=2(\cos(\frac{\pi}{6})\sin x - \sin(\frac{\pi}{6})\cos x)=2\sin(x-\frac{\pi}{6}) \in \left\langle -2,2\right\rangle}\)
ciąg dalszy za chwilkę
-- 2 mar 2016, o 16:33 --
d) \(\displaystyle{ \lim_{\cos x\to\ 1} \frac{\cos x}{1-\cos x} = \infty}\) \(\displaystyle{ \lim_{\cos x\to\ -1} \frac{\cos x}{1-\cos x}=-\frac{1}{2}}\)
Czyli \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\cos x}{\cos x-1} \in \left\langle -\frac{1}{2};+\infty\right)}\). Nawias przy nieskończoności oczywiście okrągły, zabrakło mi przycisku do przedziałów "otwarto-zamkniętych"
-- 2 mar 2016, o 17:11 --
c)
Traktujemy wyrażenie \(\displaystyle{ h(x)}\) jako szereg geometryczny o \(\displaystyle{ a_{1}=\sin x \wedge q=-2\sin x}\).
Wiemy że \(\displaystyle{ |q|<1}\) czyli \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<\sin x< \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ x \in\left\langle -\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2};\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right\rangle}\).
Wtedy funkcja ma postać \(\displaystyle{ h(x)=\frac{\sin x}{1+2\sin x}}\) \(\displaystyle{ \lim_{\sin x \to\ -\frac{1}{2}^{+}} \frac{\sin x}{1+2\sin x}=-\infty}\) \(\displaystyle{ \lim_{\sin x \to\ \frac{1}{2}^{-}} \frac{\sin x}{1+2\sin x}=\frac{1}{4}}\)
Czyli \(\displaystyle{ h(x) \in \left( -\infty,\frac{1}{4}\right)}\)
-- 2 mar 2016, o 17:26 --
b) Wstawię od nowa poprawione, wynik błędny.
-- 2 mar 2016, o 17:40 --
\(\displaystyle{ 10}\)
Ukryta treść:
Założenia \(\displaystyle{ a>0}\)
Zaczynamy od analizowania funkcji \(\displaystyle{ f(x)=2x^3+3x^2-12x}\).
Wtedy \(\displaystyle{ a=1}\) i funkcja ma trzy pierwiastki.
Licząc pochodną wyznaczamy maksimum i minimum lokalne funkcji \(\displaystyle{ M=f(-2)=20 , m=f(1)=-7}\).
Zauważmy(w tym miejscu trza mieć oKo do tego ) że jest to funkcja stopnia \(\displaystyle{ 3}\) więc zawsze istnieje co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Dwa pierwiastki będą dla \(\displaystyle{ 2\log a = -20 \vee 2\log a=7}\) a trzy pierwiastki będą dla \(\displaystyle{ 2\log a \in \left( -20,7\right)}\)
A jeden pierwiastek będzie dla \(\displaystyle{ 2\log a \in R - \left\langle -20,7\right\rangle}\)
Czyli po obliczeniu wartości \(\displaystyle{ \log a^2 = -20 \Rightarrow a=\frac{1}{10^{10}}}\) i \(\displaystyle{ \log a^2=7 \Rightarrow a=10^\frac{7}{2}}\)
Mamy odpowiedzi,
1 pierwiastek dla \(\displaystyle{ a \in R - \left\langle \frac{1}{10^{10}},10^\frac{7}{2}\right\rangle}\)
2 pierwiastki dla \(\displaystyle{ a=10^\frac{7}{2} \vee a=\frac{1}{10^{10}}}\)
3 pierwiastki dla \(\displaystyle{ a \in \left( \frac{1}{10^{10}},10^\frac{7}{2}\right)}\)
Proszę o sprawdzenie bo wyniki dziwne
Kilka zadanek przed maturą.
: 2 mar 2016, o 19:27
autor: AndrzejK
11.
Ukryta treść:
Przekształcając dostajemy \(\displaystyle{ b=2+\frac{4}{a-2}}\), a skoro \(\displaystyle{ a,b}\) mają być naturalne, to \(\displaystyle{ a-2=1 \vee a-2=2 \vee a-2=4 \Leftrightarrow a \in \left\{ 3, 4, 6 \right\}}\). Wówczas odpowiednio \(\displaystyle{ b=6, b=4, b=3}\).
Wielokątem tym jest więc trójkąt równoramienny o współrzędnych \(\displaystyle{ A(3,6), B(4,4), C(6,3)}\). Można na nim opisać jak i wpisać okrąg. Równania wyznaczyć łatwo.
Kilka zadanek przed maturą.
: 2 mar 2016, o 19:39
autor: Milczek
AndrzejK pisze:11.
Ukryta treść:
Przekształcając dostajemy \(\displaystyle{ b=2+\frac{4}{a-2}}\), a skoro \(\displaystyle{ a,b}\) mają być naturalne, to \(\displaystyle{ a-2=1 \vee a-2=2 \vee a-2=4 \Leftrightarrow a \in \left\{ 3, 4, 6 \right\}}\). Wówczas odpowiednio \(\displaystyle{ b=6, b=4, b=3}\).
Wielokątem tym jest więc trójkąt równoramienny o współrzędnych \(\displaystyle{ A(3,6), B(4,4), C(6,3)}\). Można na nim opisać jak i wpisać okrąg. Równania wyznaczyć łatwo.
W teorii owszem nic trudnego , technicznie mam problem , kwestia dokładności, jak dam radę to wstawię
-- 2 mar 2016, o 22:49 --
\(\displaystyle{ 12}\)
a)
Ukryta treść:
Mamy podany okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) o środku \(\displaystyle{ O(0,0) \wedge r=1}\).
Prosta styczna do okręgu ma postać \(\displaystyle{ k: y=ax+b}\) i przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P(2,1)}\).
Punkt ten nie należy do okręgu więc wiadomo że będą dwie styczne.
Odległość \(\displaystyle{ k: y-ax-b=0}\) od środka okręgu musi wynosić \(\displaystyle{ 1}\) więc \(\displaystyle{ d=\frac{|-b|}{ \sqrt{1+a^2}}=1 \Leftrightarrow |-b|=|b|=\sqrt{1+a^2}}\)
Wiadomo że lewa strona jest dodatnia więc \(\displaystyle{ b=\sqrt{1+a^2}}\)
Teraz korzystamy z faktu że \(\displaystyle{ 1=2a+b}\) więc sprowadzając układ równań do jednego równania mamy \(\displaystyle{ 1-2a=\sqrt{1+a^2} \Leftrightarrow 3a^2-4a=0}\) i otrzymujemy że dla \(\displaystyle{ y=1 \vee y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}}\)
b)
Ukryta treść:
Analogicznie prosta ma postać \(\displaystyle{ y=ax+b}\) i \(\displaystyle{ 1=2a+b}\) bowiem przechodzi styczna przez punkt \(\displaystyle{ P(2,1)}\). Jej wzór można zapisać jako \(\displaystyle{ y=ax+1-2a}\)
Styczna musi mieć punkt wspólny z parabolą \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) który oznaczmy \(\displaystyle{ K(x,x^2)}\)
i musi zachodzić równość \(\displaystyle{ ax+1-2a=x^2 \Leftrightarrow x^2-ax+2a-1=0}\).
Styczna ma mieć jeden punkt wspólny z parabolą więc \(\displaystyle{ \Delta=0}\) i \(\displaystyle{ [ a=4-2\sqrt{3} \wedge b=-7+4\sqrt{3} ] \vee [a=4+2\sqrt{3} \wedge b=-7-4\sqrt{3}]}\)
Proste styczne spełniające warunki zadania mają postać \(\displaystyle{ y=(4-2\sqrt{3})x-7+4\sqrt{3} \vee y=(4+2\sqrt{3})x-7-4\sqrt{3}}\)
c)
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ y=\frac{4}{x}}\) i styczna do tej funkcji ma postać \(\displaystyle{ y=ax+b}\).
Standardowo \(\displaystyle{ P(2,1)}\) i \(\displaystyle{ 1=2a+b \Leftrightarrow b=1-2a}\)
Czyli \(\displaystyle{ y=ax+1-2a}\) i dla pewnego \(\displaystyle{ x}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ \frac{4}{x}=ax+1-2a \Leftrightarrow ax^2+(1-2a)x-4=0}\), ma być jedno jedno miejsce zerowe co jest równoważne temu że styczna będzie miła jeden punkt wspólny z daną funkcją. \(\displaystyle{ \Delta=0}\) i otrzymujemy że \(\displaystyle{ y=(-\sqrt{2} -\frac{3}{2})x+4+2\sqrt{2} \vee y=(\sqrt{2} -\frac{3}{2})x+4-2\sqrt{2}}\)
Dwa kolejne przykłady d),e), ambitniejsze , doczytam to może coś wyciągnę.
-- 3 mar 2016, o 00:50 --
\(\displaystyle{ 14}\) a), b) trochę lepiej
Ukryta treść:
a)Liczb trzycyfrowych jest od \(\displaystyle{ 9\cdot 10 \cdot 10=900}\) każda po trzy cyfry więc wszystkich cyfr jest \(\displaystyle{ 900\cdot 3 = 2700}\)
b)Liczb z zerami gdzie zero występuje tylko jako cyfra jedności lub dziesiątek jest \(\displaystyle{ 1\cdot 9 \cdot 9 \cdot 2 = 162}\) czyli tutaj mamy \(\displaystyle{ 162}\) zer.
Liczb gdzie zero występuje jako cyfra jedności i dziesiątek jest \(\displaystyle{ 9}\) i tutaj mamy \(\displaystyle{ 18}\)zer.
Czyli ostatecznie wszystkich zer we wszystkich liczbach trzycyfrowych jest jest \(\displaystyle{ 180}\)
-- 3 mar 2016, o 03:10 --
\(\displaystyle{ 14}\) Inaczej jeszcze nie umiem.
c)
Ukryta treść:
Teraz mogę iść spać, suma to \(\displaystyle{ 12600}\)
Rozwiązanie polecam sobie skompilować w jakimś code blocku albo visualu
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,b,c,suma;
a=0; //jednosci
b=0; //dziesiątki
c=1; //setki
suma = 0;
int n=1; //licznik pętli/cyfr
// LICZBA : C B A
while(c!=10) {
suma+=(c+b+a);
cout << " " << suma << " " << c << b << a << " " << n << endl; //przydatne dane
n++;
a++;
if(a==10) {
a=0;
b++;
if(b==10) {
b=0;
c++;
}
}
}
cout << suma;
}
-- 3 mar 2016, o 03:37 --13
b)
Ukryta treść:
Mamy dwa okręgi \(\displaystyle{ O_{1}: S(0,0),R=2 \wedge O_{2}:S(0,2),r=1}\).
Mają one dwa punkty wspólny ze sobą zatem będą dwie proste styczne do obu okręgów.
Styczna ma postać \(\displaystyle{ k:y=ax+b \Leftrightarrow y-ax-b=0}\)
Szukamy takich prostych które spełniają następujące zależności : \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{|-b|}{\sqrt{1+a^2}}=2 \\ \frac{|-2a-b|}{\sqrt{1+a^2}}=1 \end{cases}}\)
I mamy taki fikuśny układ do rozwiązania, ciąg dalszy nastąpi jak zjem coś i nie zasnę
Kilka zadanek przed maturą.
: 9 mar 2016, o 16:35
autor: kerajs
17.
Punkty \(\displaystyle{ \left( 0,-2 \sqrt{3} \right) \ ,\ \left( 0,2 \sqrt{3} \right)}\) są wierzchołkami sześciokąta foremnego.
Napisz równanie okręgu:
a)opisanego na tym sześciokącie
b)wpisanego w ten sześciokąt
18.
Ostrosłup o wysokości 1 przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy ostrosłupa uzyskując dwie bryły. Oblicz odległość miedzy płaszczyzną tnącą a podstawą ostrosłupa gdy:
a) otrzymane bryły mają równą objętość
b) stosunek objętości otrzymanych brył wynosi 2:1
20.
Dwa współczynniki trójmianu kwadratowego są iloczynem i sumą pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W \left( x \right) =x^3+5x^2+8x+4}\), a jego zbiór wartości to \(\displaystyle{ \left\langle -9, \infty \right)}\). Znajdź miejsca zerowe tego trójmianu.
21.
Dla jakiej wartości parametru ,,k'
a)pierwiastki
b)rozwiązania
równania:\(\displaystyle{ x^4-40x^2+k=0}\)tworzą ciąg arytmetyczny.
22.
W pojemniku znajduje się 16 kul w tym tylko,,n' czarnych. Losujemy sześć razy jedną kulę po czym ją zwracamy. Jaką wartość musi mieć ,,n' aby prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie czterech kul czarnych było największe.
23.
Budynek palmiarni miejskiej ma kształt półkuli o promieniu 12 m. Postanowiono rozbudować palmiarnię :
Projekt A) przez nakrycie jej dachem w kształcie ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego stycznych do istniejącej kopuły palmiarni.(ściany boczne ostrosłupa są styczne do półkuli). Koszt metra kwadratowego dachu to 1000 zł.
Projekt B) przez nakrycie jej dachem jak w projekcie a) do wysokości kopuły i zbudowanie na tej wysokości płaskiego tarasu widokowego (ściany boczne i górna podstawa ostrosłupa ściętego są styczne do półkuli). Koszt metra kwadratowego dachu to 1000 zł, a tarasu 2000 zł.
Jakie będą wymiary podstawy nowej palmiarni oraz koszt rozbudowy przy najtańszych projektach A i B.
24.
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A= \left( 2,1 \right)}\) i nachylonej do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem:
a) dwa razy mniejszym
b) trzy razy większym
niż prosta \(\displaystyle{ 4y-x-3=0}\).
14 inaczej:
Ukryta treść:
b) Wśród liczb 100-199 jest 20 zer (po 10 na miejscu dziesiątek i jedności).
Wszystkich zer w liczbach trzycyfrowych jest \(\displaystyle{ 9 \cdot 20=180}\)
c) Jedynek (dwójek,..., dziewiątek)jest \(\displaystyle{ \left( 2700-180 \right) \cdot \frac{1}{9} =280}\)
Suma cyfr \(\displaystyle{ S=180 \cdot 0+280 \cdot \left( 1+2+..+9\right)=280 \cdot 45= 12600}\)
Kilka zadanek przed maturą.
: 9 mar 2016, o 19:31
autor: Premislav
Ja mam małe pytanie odnośnie treści zadania nr 21: czym się różnią pierwiastki równania od rozwiązań? Serio nie wiem. Wiem, że np. \(\displaystyle{ \sqrt{25}=5}\), a zbiorem rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{2}=25}\) jest \(\displaystyle{ \left\{ -5,5\right\}}\), ale nie mam zielonego pojęcia, jak to się przenosi na to zadanie. Sformułowanie jest śliskie, bo nie zaznaczono, czy pierwiastki rzeczywiste, czy wszystkie, a zatem można by rozważyć to zadanie ogólnie w liczbach zespolonych, ignorując ujemne wyróżniki itd. Trochę może czasu minęło, odkąd liczby zespolone pojawiały się na maturze (dokładnie nie wiem), ale nie widzę innego zastosowania dla rozróżnienia takiego, jak w treści.
Zadanie 20.
Ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia łatwo dostajemy \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-5 \wedge x_{1}x_{2}x_{3}=-4}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\) to pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Ponadto wiemy, że rozważany trójmian kwadratowy ma minimum globalne równe \(\displaystyle{ -9}\), toteż jego współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.
Czyli jest on postaci \(\displaystyle{ ax^{2}-5x-4}\) lub \(\displaystyle{ ax^{2}-4x-5}\) dla pewnego dodatniego \(\displaystyle{ a}\). Ponadto wiemy, że \(\displaystyle{ - \frac{\Delta}{4a}=-9}\), tj. \(\displaystyle{ \frac{-16a-25}{4a}=-9 \vee \frac{-20a-16}{4a}=-9}\), a stąd \(\displaystyle{ a= \frac{4}{5}\vee a= 1}\) (odpowiednio) i dalej wiadomo.
Poproszę o szybsze rozwiązanie. Pewnie jakaś prosta tożsamość algebraiczna, którą przeoczyłem. Zapewne można jakoś znowu z Viete'a bez babrania się z wyliczaniem \(\displaystyle{ a}\).
Kilka zadanek przed maturą.
: 9 mar 2016, o 21:40
autor: kerajs
@ Premislav
Problem z rozróżnieniem pierwiastków równania od rozwiązań równania w zadaniu 21 istnieje także w niejawny sposób w zadaniu 20, czyli tym które rozwiązałeś.
Tam (w zad 20.) maturzysta najpewniej rozwiązywałby równanie (bo wzory Viety zna (?) tylko dla trójmianu): \(\displaystyle{ x^3+5x^2+8x+4=0 \\
(x+2)(x+2)(x+1)=0}\)
To równanie ma dwa rozwiązania, dwa miejsca zerowe.
A ile ma pierwiastków? Dwa czy trzy? Dla Ciebie to trzy pierwiastki i tak też interpretują to wzory Vieta dając współczynniki: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-2-2-1=-5 \ , \ x_1x_2x_3=(-2)(-2)(-1)=-4}\)
Ale część nauczycieli utożsamia pierwiastek z rozwiązaniem i ma tu dwa pierwiastki w tym jeden podwójny co daje inne współczynniki \(\displaystyle{ -2-1=-3 \ , \ (-2)(-1)=2}\) i cztery (zupełnie inne od Twoich dwóch rozwiązania)
Przykłady takiego podejścia:
371326.htm
395870.htm
400077.htm
Inny przykład z zadania 21:
Dla \(\displaystyle{ k=0}\) pierwiastki: \(\displaystyle{ -2 \sqrt{10} \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ 2 \sqrt{10} }}\) nie tworzą ciągu arytmetycznego, ale rozwiązania \(\displaystyle{ -2 \sqrt{10} \ , \ 0 \ , \ 2 \sqrt{10} }}\) już takim ciągiem są.
Jednak przy utożsamianiu pierwiastków z rozwiązaniami dla \(\displaystyle{ k=0}\)jest ciąg arytmetyczny ale wtedy Twoje rozwiązanie zadania 20. jest całkowicie błędne.
Przyznaję, sporo tych zadań jest czasochłonna i niekoniecznie wieńczy je ,,ładny' wynik. Ty w zadaniu 20 wybrałeś (chyba) najszybszą metodę rozwiązania.