Kilka zadanek przed maturą.

[Premislav]

Dzięki za wyjaśnienie. Faktycznie, o tym nie pomyślałem, to powoduje, że są co najmniej dwie możliwości rozwiązania zadania 20, wynikające z różnej interpretacji.

Zadanie 22.
To mi wygląda na próby Bernoulliego, maksymalizujemy więc
\(\displaystyle{ f(n)={6 \choose 4}\left( \frac{n}{16}\right)^{4}\left( \frac{16-n}{16}\right)^{2}}\). gdzie oczywiście o stałych dodatnich komponentach multyplikatywnych możemy zapomnieć, bo interesuje nas konkretny argument funkcji, a nie wartość maksimum, a ponadto funkcja \(\displaystyle{ f(t)=t^{2}}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ t>0}\), więc wystarczy nam znaleźć takie \(\displaystyle{ n\in \left\{ 0,...16\right\}}\), dla którego wyrażenie \(\displaystyle{ n^{2}(16-n)}\) przyjmuje wartość największą.
\(\displaystyle{ f(t)=t^{2}(16-t), f'(t)=-3t^{2}+32t}\), zatem w \(\displaystyle{ [0,16]}\) największa wartość \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ f\left( \frac{32}{3} \right)}\) (porównujemy z wartościami na krańcach przedziału, które oczywiście są zerami), no a potem zauważamy, że dla \(\displaystyle{ t>32/3}\) funkcja maleje, więc wystarczy porównać \(\displaystyle{ f(10) z f(11)}\). Odpowiedź: \(\displaystyle{ n=11}\).
Ja takich rzeczy, jak próby Bernoulliego nie znałem w szkole średniej, ale chyba jest coś takiego w programie, skoro np. wzór Bayesa też doń wrócił.

-- 10 mar 2016, o 01:22 --

Ogólnie to chciałem zrobić to zadanie z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, ale tą metodą też dostajemy ofc. maksimum w \(\displaystyle{ \frac{32}{3}}\), no i bez pochodnych to ja nie umiem dalej uargumentować. Coś niby można by próbować, że im dalsze są te składniki (\(\displaystyle{ 16-n, n/2,n/2}\)) od bycia równymi, tym mniejsze wartości, ale to trochę machando rękami.

[AndrzejK]

Jak więc interpretować takie zadanie na maturze? Jako jeden pierwiastek podwójny, czy jako dwa pierwiastki? W ogóle pojawiła się kiedyś taka nieścisłość w poprzednich maturach?

Pamiętam jedno zadanie z matury próbnej "Operonu", w której trzeba było wskazać dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie było sprecyzowane, czy różne. I tam nie rozpatrywano przypadku, gdzie \(\displaystyle{ \Delta=0}\), tj. równanie miało zgodnie z Twoją teorią \(\displaystyle{ 2}\) takie same pierwiastki, a zgodnie z teorią niektórych nauczycieli i jak wspomniałem klucza odpowiedzi opracowanego przez wydawnictwo Operon \(\displaystyle{ 1}\) pierwiastek.

Z kolei jeśli dobrze pamiętam w innym zbiorze już było tak jak mówisz, więc tak nieścisłe sformułowania jeśli pojawią się na maturze mogą wprowadzić w konsternację - która definicja jest "właściwsza"?

[Jan Kraszewski]

Taka sytuacja nie powinna pojawić się na maturze.

JK

[kerajs]

Chyba zbyt pracochłonne były powyższe zadania.
Kilka krótszych:

A1. Dana jest prosta k: \(\displaystyle{ y=x}\). Proszę napisać równanie prostej l, przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,-4)}\) i nachylonej do prostej k pod kątem \(\displaystyle{ 30^o}\).

A2. Jakie współrzędne ma obraz punktu \(\displaystyle{ P=(a,b)}\) w symetrii osiowej względem \(\displaystyle{ y=-2x+1}\)

A3. Jaki jest najmniejszy kwadrat liczby naturalnej który ma dwie ostatnie cyfry (cyfrę dziesiątek i jedności) nieparzyste.

A4. Wiedząc że \(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right|=5 \ , \ \left| \vec{b} \right|=3 \ , \ \angle\left\{ \vec{a}, \vec{b}\right\}= \frac{2\pi}{3}}\), obliczyć \(\displaystyle{ \left| 2\vec{a} -3\vec{b} \right|}\).

A5. Jaki jest wzór na sumę n wyrazów ciągu \(\displaystyle{ 3 \ , \ 33 \ , \ 333 \ , \ 3333 \ , \ ....}\)?

A6. \(\displaystyle{ {5 \choose x}+ {4 \choose x}=5x-1}\)

A7. \(\displaystyle{ \begin{cases} xy=40 \\ \left| x\right|^{\log\left| y\right|}=4 \end{cases}}\)

A8. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania fulla przy losowaniu 5 kart z talii 52 kartowej.

A9. Jakie równania mają asymptoty funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^4-x^3-4x+4}{x^3+2x^2-x-2}}\)

A10. Są cztery różne okręgi o wspólnym środku, takie że trzy pierścienie między nimi i koło ograniczone najmniejszym okręgiem mają równe pola. Proszę rozstrzygnąć czy suma obwodów największego i najmniejszego okręgu jest większa od sumy obwodów dwóch pozostałych okręgów.

Matura_dawniej::    

Matura: 1976 / woj. kaliskie / profil mat-fiz
A11.
Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami:
\(\displaystyle{ y=x^2+1 \ , \ y=-x+1 \ , \ x=1}\)

A12.
W jakiej odległości należy stanąć od ściany, aby widzieć pod największym kątem obraz prostokątny (reklamę) wysokości 7 metrów namalowany na tej ścianie, jeżeli dolny brzeg obrazu znajduje się na wysokości 9 metrów nad poziomem oka obserwatora.

A13.
Napisz równanie okręgu zawierającego dwa punkty \(\displaystyle{ A=(0,0)}\) i \(\displaystyle{ B=(1,7)}\) którego środek leży na prostej \(\displaystyle{ x+y-7=0}\)

A14.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
\(\displaystyle{ F(x)= \int_{0}^{x}(1-\cos t)\dd t}\)

A15.
Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Do celu oddano niezależnie 6 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo że cel zostanie trafiony:
a) jeden raz,
b) zero razy,
c) co najmniej raz,
d) co najwyżej raz,
e) dwa razy.

PS
Należało wybrać trzy zadania do rozwiązania. Matury z matematyki profilu matematyczno-fizycznego były najtrudniejsze.

[GluEEE]

A7:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} xy = 40 \\ |x|^{\log{|y|}} = 4 \end{cases}}\)

Logarytmuję drugie równanie obustronnie: \(\displaystyle{ \log{|y|} = \log_{|x|} {4}}\)
\(\displaystyle{ \log{|y|} = \frac{\log{4}}{\log{|x|}} \\
\log{|\frac{40}{x}|} \cdot \log{|x|} = \log{4} \\
(\log{4} + 1 - \log{|x|}) \cdot \log{|x|} = \log{x} \\
\log^{2}{|x|}-\log{|x|}(\log{4} + 1) + \log{4} = 0 \\
\log{|x|} = t \\
t^2 - t(\log{4} + 1) + \log{4} = 0 \\
\Delta = (\log{4} + 1} ^ 2 - 4\log{4} = (\log{4} - 1) ^ 2 \\
\sqrt{\Delta} = 1 - \log{4} \\
t_{1} = \frac{\log{4} + 1 + 1 - \log{4}}{2} = \log{4} \\
t_{2} = 1 \\
\log{|x|} = log{10} \vee \log{|x|} = \log{4}}\)
Mamy takie 4 pary rozwiązań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 10 \\ y = 4 \end{cases} \vee \begin{cases} x = - 10 \\ y = - 4 \end{cases} \vee \begin{cases} x = 4 \\ y = 10 \end{cases} \vee \begin{cases} x = -4 \\ y = -10 \end{cases}}\)
Sprawdzamy i okazuje się, że spełniają układ równań.
Są więc to rozwiązania.

A5:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 3 + 33 + 333 + 3333 + ... = 3 \cdot (1 + 11 + 111 + 1111 + ...) = 3 \cdot (1 + (1 + 10) + (1 + 10 + 100) + (1 + 10 +100 + 1000) + ...) = 3\cdot ( \frac{10^{1} - 1}{10 - 1} + \frac{10^{2} - 1}{10 - 1} + \frac{10^{3} - 1}{10 - 1} + ... ) = \frac{1}{3} \cdot (-n + 10^1 + 10^2 + 10^3 + ...) = \frac{1}{3} \cdot (10 \cdot \frac{10^n - 1}{10 - 1} - n) = \frac{10}{27} \cdot (10^n - 1) - \frac{n}{3}}\)

A3:

Ukryta treść:    

Nie istnieje taka liczba, że jej kwadrat ma nieparzystą cyfrę jedności i nieparzystą cyfrę dziesiątek.
Szukamy liczb nieparzystych, bo parzyste podniesione do kwadratu dają liczby parzyste.
Każdą liczbę naturalną nieparzystą można zapisać jako \(\displaystyle{ k = 10n + m}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in (1, 3, 5, 7, 9)}\).
\(\displaystyle{ k^2 = 100n^2 +20nm + m^2}\)
Dla \(\displaystyle{ m = 1}\): \(\displaystyle{ k^2 = 100n^2 + 20n + 1}\)
Dla \(\displaystyle{ m = 3}\): \(\displaystyle{ k^2 = 100n^2 + 60n + 9}\)
Dla \(\displaystyle{ m = 5}\): \(\displaystyle{ k^2 = 100n^2 + 100n + 25}\)
Dla \(\displaystyle{ m = 7}\): \(\displaystyle{ k^2 = 100n^2 + 140n + 49 = 100n^2 + 100n + 10(4n + 4) + 9}\)
Dla \(\displaystyle{ m = 9}\): \(\displaystyle{ k^2 = 100n^2 + 180n + 81 = 100n^2 +100n + 10(8n +8) + 1}\)
Każda z tych liczb ma parzystą liczbę dziesiątek i nieparzystą liczbę jedności.

[Chewbacca97]

A6:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x\in\NN \cup \left\{ 0\right\} \wedge x \le 4}\)
Sprawdzamy co się dzieje dla liczb ze zbioru: \(\displaystyle{ A=\left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\).
Dla \(\displaystyle{ x=3}\) mamy równość.

[kerajs]

B1. Dane są wierzchołki kwadratu \(\displaystyle{ (1,-3) \ , \ (3,3)}\). Proszę napisać równanie prostej (lub prostych) która na pewno jest osią symetrii kwadratu.
Na ile części możliwe osie symetrii kwadratu dzielą płaszczyznę układu współrzędnych.

B2. Wykaż że w trójkącie ABC długość dwusiecznej kąta A i zawartej w trójkącie wynosi:
\(\displaystyle{ \left|AA' \right|= \frac{2\left|AB \right|\left|AC \right|\cos \frac{A}{2} }{\left|AB \right|+\left|AC \right|}}\)

B3.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_{x+2}y= \frac{3}{z}-2 \\ \cos x-1=x^2 \\ \left| 5-y\right|+1=2^y \end{cases}}\)

B4. Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych których cyfry (od lewej do prawej) tworzą ciąg rosnący.

B5. Połowę obwodu prostokąta o bokach \(\displaystyle{ 4a,2a}\) podzielono na odcinki długości \(\displaystyle{ a}\). Wykaż bez użycia kalkulatora która z sum długości odcinków (czerwona czy zielona) jest większa.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(4,2)--(0,2)--(0,0) ;
\draw[red] (0,1)--(4,0)--(0,2) ;
\draw[green] (3,2)--(4,0)--(2,2) ;
\draw[green] (1,2)--(4,0) ;
\end{tikzpicture}}\)

B6. Ile najmniej (a ile najwięcej) składników zawiera suma kwadratów liczb naturalnych dodatnich równa 2017. Podaj średnią geometryczną z tych składników.

B7. Który z ciągów:
\(\displaystyle{ a_n=7n+5\\
b_n=2^n+3}\)
wcześniej ma wyraz będący kwadratem liczby naturalnej.

B8. Robot znajdujący się w punkcie (0,0) przemieszcza się skacząc z punktu na punkt. Program robota wybiera współrzędne nowego punktu przez dodanie do jednej z aktualnych współrzędnych liczby 1. Jakie jest prawdopodobieństwo że trasa robota zawiera punkt (3,6) ?

B9. Dwa wierzchołki prostokąta o dodatniej rzędnej należą na paraboli \(\displaystyle{ y= \frac{-x^2}{4}+2}\), a pozostałe dwa do osi OX. Oblicz wymiary prostokąta o:
a) największym polu
b) najkrótszej przekątnej

B10. W kwadraty o boku 2R wpisano okręgi. Ile wynosi promień okręgu stycznego do każdego z wpisanych.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(4,2)--(0,2)--(0,0) ;
\draw (2,0)--(2,2) ;
\draw (1,2)--(1,4)--(3,4)--(3,2) ;
\draw (0.5,4) node[above] {$a)$};
\draw (5.5,4) node[above] {$b)*$};
\draw (5,0)--(5,2)--(11,2)--(11,0)--(9,0)--(9,4)--(7,4)--(7,0)--(5,0);
\end{tikzpicture}}\)

Matura_dawniej:    

Liceum ogólnokształcące 1971

B.11 Dane są punkty \(\displaystyle{ M(12, -3), K(0, -9), L(-6,9)}\).
a) Oblicz współrzędne punktu P, który jest wierzchołkiem równoległoboku MPKL oraz oblicz kąt wektorów \(\displaystyle{ \vec{MP}}\) i \(\displaystyle{ \vec{ML}}\).
b) Napisz równanie okręgu, do którego należą punkty M, K, L; oblicz współrzędne jego środka i
długość promienia.
c) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta MKL, do której należy punkt M. Czy
punkt P należy do tej prostej?

B.12 Wyznacz promień podstawy walca, którego objętość, przy danym polu P powierzchni całkowitej
jest maksymalna.

B.13 Rozwiąż układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} mx-2y=3 \\ 3x+my=4 \end{cases}}\)
Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu spełnia warunek \(\displaystyle{ x<1}\) i \(\displaystyle{ y>0}\) ?

Technikum i liceum zawodowe 1971

B.14 Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=2x^3-3x^2-12x+18}\)
i naszkicuj jej wykres

B.15 Punkty \(\displaystyle{ A(-4, -6), B(8,-1), C(13,11), D(1,6)}\) są wierzchołkami czworokąta.
a) oblicz kąt między przekątnymi;
b) Czy w czworokąt ABCD można wpisać okrąg? Jeśli tak, to napisz równanie tego okręgu

B.16 Trapez równoramienny, którego podstawy mają długość a i 3a oraz kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha \alpha}\), obraca się dookoła krótszej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni powstałej bryły.

Były 3 zadania do rozwiązania przez 240 minut

[Premislav]

B7
To zadanie jest jakieś dziwne. Jeżeli dopuszczamy \(\displaystyle{ n=0}\), to odpowiedź jest oczywista, przyjmuję więc \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\).
Reszta z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez \(\displaystyle{ 4}\) może być równa tylko \(\displaystyle{ 0}\) albo \(\displaystyle{ 1}\), więc wystarczy bezpośrednio sprawdzić, że \(\displaystyle{ b_1}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej. To daje nam, że w ciągu \(\displaystyle{ (b_n)_{n \in \NN^+}}\) nie występują kwadraty liczb naturalnych, bo dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) mamy oczywiście \(\displaystyle{ 2^n+3\equiv 3\pmod{4}}\).
Podobnież w ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie występują kwadraty liczb naturalnych, gdyż dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy, że \(\displaystyle{ a_n}\) daje resztę \(\displaystyle{ 5}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\), a kwadraty liczb naturalnych dają reszty 0,1,2,4 z dzielenia przez 7, więc właściwa odpowiedź to WTF I just read.

[Chewbacca97]

B6:

Ukryta treść:    

Najmniej dwa, a najwięcej dwa tysiące siedemnaście:

\(\displaystyle{ 2017 = 44^{2} + 9^{2} = \underbrace{ 1^{2} + 1^{2} + ... + 1^{2} }_{2017}}\) .

Średnia geometryczna pierwszego przypadku: \(\displaystyle{ \sqrt[2]{44^{2} \cdot 9^{2}} = 396}\) .
Średnia geometryczna drugiego przypadku: \(\displaystyle{ \sqrt[2017]{1} = 1}\) .

[GluEEE]

B2:

Ukryta treść:    

Wystarczy zapisać pole na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ 2P = |AA'| \cdot |AB| \cdot \sin{\frac{A}{2}} + |AA'| \cdot |AC| \cdot \sin{\frac{A}{2}}= |AC|\cdot |AB| \cdot \sin{A} \\
|AA'| = \frac{ |AB||AC|\sin{A}}{(|AB|+|AC|) \sin{\frac{A}{2}}} = \frac{2\left|AB \right|\left|AC \right|\cos \frac{A}{2} }{\left|AB \right|+\left|AC \right|}}\)

B3:

Ukryta treść:    

Ponieważ \(\displaystyle{ \cos{x} - 1 \in \left\langle -2, 0\right\rangle}\) i \(\displaystyle{ x^2 \ge 0}\), to jedynym poprawnym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x = 0}\).
\(\displaystyle{ |y-5| + 1 = 2^y}\) można szybko rozwiązać choćby graficznie i wychodzi tylko \(\displaystyle{ y = 2}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ \log_{2}{2} = 1 =\frac{3}{z} - 2 \\
z = \frac{3}{3} = 1}\)

B4:

Ukryta treść:    

Rozpatruję tylko liczby z cyfrą jedności \(\displaystyle{ 4, 6, 8}\) - reszta nie pasuje.
Wybieram podciągi rosnące ze zbiorów, na które składają się cyfry mniejsze od cyfry jedności liczby.
Rozwiązanie: \(\displaystyle{ {3 \choose 3} + {5 \choose 3} + {7 \choose 3}}\)

B9:

Ukryta treść:    

a) Aby określić dziedzinę \(\displaystyle{ x}\) musimy rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \frac{-x^2}{4} + 2 > 0}\)
Jej rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x \in \left( 0, 2\sqrt{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ P(x) = 2x (\frac{-x^2}{4} + 2) = -\frac{x^3}{2} + 4x \\
P'(x) = -\frac{3x^2}{2} + 4 \\
P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{8}{3}} \in D}\)
Prostokąt ma wymiary: \(\displaystyle{ 2\sqrt{\frac{8}{3}}}\) na \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)
b) Dziedzina analogicznie do poprzedniego podpunktu.
Długość naszej przekątnej jest opisana wzorem (na podstawie twierdzenia Pitagorasa): \(\displaystyle{ d(x) = \sqrt{4x^2 + (2-\frac{x^2}{4})^2} = \sqrt{\frac{x^4}{16} + 3x^2 + 4}}\)
Zapiszmy \(\displaystyle{ h(x) = \frac{x^4}{16} + 3x^2 + 4}\)
Mamy wtedy \(\displaystyle{ d(x) = \sqrt{h(x)}}\)
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ d(x)}\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, to wystarczy znaleźć takie \(\displaystyle{ x}\), dla którego \(\displaystyle{ h(x)}\) osiąga minimum
\(\displaystyle{ h'(x) = \frac{x^3}{4} + 6x \\
h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0}\)
\(\displaystyle{ x}\) nie należy do dziedziny, więc nie ma więc takiego prostokąta.

B10:

Ukryta treść:    

a)
Jeden z okręgów leży w 'środku' naszej figury. Jego środek leży na wyżej położonej połowie wspólnej krawędzi dwóch niżej położonych kwadratów.
Oznaczmy sobie jako \(\displaystyle{ r}\) promień naszego okręgu.
Mamy wtedy z twierdzenia Pitagorasa: \(\displaystyle{ R^2+(R-r)^2 = (R+r)^2\\
r= \frac{R}{4}}\)
Drugi przypadek to okręg większy. Okręgi wpisane w kwadraty są do niego stycznie wewnętrznie.
jego promień \(\displaystyle{ r'}\) wynosi \(\displaystyle{ r + 2R}\).
Resztę rozpatrzę potem.

-- 2 paź 2016, o 15:02 --B8:

Ukryta treść:    

Aby robot dostał się na punkt \(\displaystyle{ (3, 6)}\) musi wykonać 9 ruchów.
Robot może dostać się na punkt \(\displaystyle{ (i, 9-i)}\) na {9 choose i}
sposobów. Wynika to z tego, że musi wybrać \(\displaystyle{ i}\) ruchów, w których porusza się w górę.
Zatem ilość wszystkich zdarzeń dla \(\displaystyle{ 9}\) ruchów to \(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{9} {9 \choose i} = {9 \choose 0} + {9 \choose 1} + {9 \choose 2} + ... + {9 \choose 9} = (1 + 1)^9 = 2^9}\) według wzoru dwumianowego Newtona.
Na punkt \(\displaystyle{ (3, 6)}\) możemy się dostać na \(\displaystyle{ {9 \choose 3}}\) sposobów.
\(\displaystyle{ P = \frac{{9 \choose 3}}{2^9}}\)

[kerajs]

Pełna odpowiedź do B10:    

\(\displaystyle{ a)\\
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(4,2)--(0,2)--(0,0) ;
\draw (2,0)--(2,2) ;
\draw (1,2)--(1,4)--(3,4)--(3,2) ;
\draw (1,1)circle(1) ;
\draw (3,1)circle(1) ;
\draw (2,3)circle(1) ;
\draw [red](2,1.75)circle(0.25) ;
\draw [red](2,1.75)circle(2.25) ;
\draw [blue](3.5,1)circle(1.5) ;
\draw [blue](0.5,1)circle(1.5) ;
\draw [green](2,2.875)circle(1.125) ;
\end{tikzpicture}
\frac{R}{4}, \frac{9R}{8}, \frac{3R}{2}, \frac{3R}{2}, \frac{9R}{4}}\)

\(\displaystyle{ b)\\
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(2,0)--(2,4)--(4,4)--(4,0)--(6,0)--(6,2)--(0,2)--(0,0) ;
\draw (1,1) circle(1);
\draw (5,1) circle(1);
\draw (3,3) circle(1);
\draw[red] (3,1) circle(1);
\draw[red] (3,1) circle(3);
\draw [green](3,2.5)circle(1.5) ;
\draw[blue] (1.7753,-0.2247) circle(2.4495);
\draw[blue] (4.2247,-0.2247) circle(2.4495);
\draw[blue] (1.7753,2.2247) circle(2.4495);
\draw[blue] (4.2247,2.2247) circle(2.4495);
\end{tikzpicture}
R \ , \ \frac{3R}{2} \ , \ R \sqrt{6} \ , \ R \sqrt{6} \ , \ R \sqrt{6} \ , \ R \sqrt{6} \ , \ 3R}\)

C1. Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^4-2x^2+4>\log ( \cos ( \pi x ))}\)

C2. Współrzędne punktów to całkowite rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}}\)
Jakie jest prawdopodobieństwo że odległość między dwoma punktami jest mniejsza od 12 ?

C3. Ciąg o wyrazach dodatnich zadany jest rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=3 \\ a_n^2+a_{n+1}^2=81 \end{cases}}\)
Proszę obliczyć sumę 2017 początkowych wyrazów tego ciągu.

C4. Wysokość trójkąta o wierzchołku \(\displaystyle{ (2,7)}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ y= \frac{-2}{3}x+4}\), a jego dwusieczna w prostej \(\displaystyle{ y=x+2}\). Jakie są współrzędne wierzchołków trójkąta oraz jego pole?

C5. Każdy bok dwunastokąta foremnego którego obwód wynosi 12 m powiększono o 0,2 m.
a) Jak duża jest „szpara” między bokami obu dwunastokątów.
b) Jaka będzie „szpara” jeśli obwód dwunastokąta miał początkowo 1,2 m (zamiast 12 m) .

C6. Jedna z krawędzi czworościanu ma długość 2a, a pozostałe krawędzie 3a. Ile wynosi kąt miedzy ścianami czworościanu o różnym polu?

C7. Z jakich ścian można zbudować:
a) sześciościan
b) siedmiościan
(Proszę nie rozróżniać wielokątów tj. kwadrat,prostokąt, romb,... to po prostu czworokąt /czworobok)
Przykład: Pięciościan można zbudować z:
1) 4 trójkątów i 1 czworokąta
2) 2 trójkątów i 3 czworokątów

C8. Proszę wyprowadzić wzór na krzywą której każdy punkt ma własność: jego odległość od prostej \(\displaystyle{ y=-x}\) jest dwa razy większa niż odległość od punktu \(\displaystyle{ (3,3)}\)

C9. Ramiona kąta zawierające się w osi OX oraz prostej \(\displaystyle{ y=x+1}\) przecięto prostymi \(\displaystyle{ l_1: \ y=-x+7}\) oraz \(\displaystyle{ l_2: \ y=-x+9}\) . Punkty przecięcia tych prostych z ramionami kąta to wierzchołki figury \(\displaystyle{ F_1}\). Jakie równanie ma prosta \(\displaystyle{ l_3}\) , równoległa do \(\displaystyle{ l_1}\), jeśli pole figury \(\displaystyle{ F_2}\) ograniczonej prostą \(\displaystyle{ l_3}\), prostą \(\displaystyle{ l_2}\) oraz ramionami kąta jest 2 razy większe od pola \(\displaystyle{ F_1}\).

C10. W pięć sześcianów o boku \(\displaystyle{ 2a}\) ustawionych jak na rysunku wpisano kule. Oblicz:
a) Promień kuli stycznej do każdej z wpisanych w sześciany.
b) Stosunek objętości stożka do objętości walca, jeżeli cztery dolne kule są styczne do podstaw obu brył (leżących w tej samej płaszczyźnie) oraz ich powierzchni bocznych, a górna kula jest styczna do drugiej podstawy walca i powierzchni bocznej stożka.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(4,0)--(6,1.2)--(6,3.2)--(4,2)--(0,2)--(0,0) ;
\draw (2,0)--(2,2)--(2.5,2.3) ;
\draw (4,2)--(4,0) ;
\draw (5,0.6)--(5,2.6)--(4,2.6) ;
\draw (1.5,2.3)--(3.5,2.3)--(3.5,4.3)--(1.5,4.3)--(1.5,2.3) ;
\draw (3.5,2.3)--(4.5,2.9)--(4.5,4.9)--(2.5,4.9)--(1.5,4.3) ;
\draw (3.5,4.3)--(4.5,4.9) ;
\draw (6,3.2)--(4.5,3.2) ;
\draw (0,2)--(1.5,2.9);
\draw (1,2.6)--(1.5,2.6);
\end{tikzpicture}}\)

Matura_dawniej:    

Matura z matematyki 1960 r. (Katowice)
C11. Zadanie 1
Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{x +\sqrt{x} }- \sqrt{x -\sqrt{x} }= \frac{3}{2} \sqrt{ \frac{x}{ x +\sqrt{x}} }}\)

C12. Zadanie 2
W trapezie opisanym na okręgu o promieniu r jeden z kątów jest prosty, kąt zaś ostry równa się \(\displaystyle{ \alpha}\). Zbudować ten trapez, a następnie obliczyć jego pole. Wykonać obliczenia dla r=0,523 dm, \(\displaystyle{ \alpha =46^o32'}\).

C13. Zadanie 3
Romb o boku a i kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) obraca się dokoła prostej, przechodzącej przez wierzchołek kąta ostrego i prostopadłej do jednego z przyległych boków. Znaleźć objętość bryły otrzymanej z obrotu. Wykonać obliczenia dla a=23,45 cm, \(\displaystyle{ \alpha =70^o32'}\).

Zadania z tamtych czasów:
C14. (matura 1964)
Dla uczczenia XX- lecia Polski Ludowej dwie współzawodniczące kopalnie podjęły zobowiązania zwiększenia wydobycia węgla. W pierwszym miesiącu kwartału każda z kopalń wydobyła po 50 tysięcy
ton węgla. W następnych miesiącach wydobycie węgla w pierwszej kopalni wzrastało w postępie arytmetycznym w drugiej w postępie geometrycznym. Zarówno w drugim jak i w trzecim miesiącu wydobycie węgla w pierwszej kopalni było o 2 tysiące ton większe niż w drugiej. Obliczyć ile tysięcy ton wynosiło wydobycie węgla w trzecim miesiącu w każdej kopalni.

C15. (matura 1966)
Dla uczczenia 1000 – lecia Państwa Polskiego grupa członków Z.M.S. zobowiązała się przepracować kilka dni przy porządkowaniu ośrodka sportowo – wypoczynkowego. W pierwszym dniu wartość wykonanej pracy wynosiła 125 zł, a w każdym następnym o 20 zł więcej niż w poprzednim. Łączna wartość wykonanego czynu wynosiła 1845 zł. Ile dni pracowała grupa ?

[Premislav]

C1
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \cos(\pi x) \le 1}\), więc \(\displaystyle{ \log(\cos(\pi x)) \le \log(1)= 0}\), tymczasem dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) prawdą jest, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^4-2x^2+4>0}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{x^4}{2}+8 }{2} \ge 2x^2}\),
co jest prawdą na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną.
Pozostaje więc zastanowić się nad dziedziną tej całej nierówności:
\(\displaystyle{ \cos(\pi x)>0 \Leftrightarrow \pi x \in \left( -\frac \pi 2+2k\pi, \frac \pi 2+2k\pi\right), k \in \ZZ}\)
Ostateczne rozwiązanie: \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac 1 2 +2k, \frac 1 2+2k\right), k \in \ZZ}\)

[Larsonik]

[...] tymczasem dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) prawdą jest, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^4-2x^2+4>0}\)

Czy nie powinno być w tym miejscu raczej większe lub równe zero? Wówczas z rozwiązania wypadają dwie wartości: \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\).

[Premislav]

Tak, masz rację, dałem ciała. Dzięki.

[Kartezjusz]

C2

Ukryta treść:    

mnożąc przez \(\displaystyle{ xy}\)i zakładając niezerowość obu niewiadomych mamy
\(\displaystyle{ xy=3x+3y}\) dodajemy obustronnie dziewiątkę mamy
\(\displaystyle{ xy-3x-3y+9=9}\) zauważmy, że wielomian po lewej jest rozkładalny i rozkładając go mamy
\(\displaystyle{ (x-3)(y-3)=9}\) rozwiązania muszą być w liczbach całkowitych. Czyli nawiasy muszą być dzielnikami dziewiątki o tych samych znakach. Tworzą się układy równań postaci \(\displaystyle{ \begin{cases} x-3=D \\ y-3= \frac{9}{D} \end{cases}}\)rozwiązując każdy z 6 układów mamy 6 rozwiązań i odrzucając\(\displaystyle{ x, y = 0}\)mamy 5 punktów i 10 ich par. Tylko 4 z nich spełniają warunki.