Matematyka.pl

Zadania:
1.We wnętrzu trójkąta o bokach długości \(\displaystyle{ 3,4,5}\) leży punkt \(\displaystyle{ P}\). Wykazać, że jeżeli odległości \(\displaystyle{ P}\) od wierzchołków są wszystkie wymierne, to odległość \(\displaystyle{ P}\) od boków też.

2.W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Symetralna odcinka \(\displaystyle{ AD}\) przecina okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ D E F}\) jest styczny do prostej \(\displaystyle{ BC}\)

3.Niech \(\displaystyle{ \ZZ}\) oznacza zbiór liczb całkowitych. Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\), która każdej liczbie całkowitej \(\displaystyle{ k}\) przypisuje nieujemną liczbę całkowitą \(\displaystyle{ f(k)}\) i spełnia następujące dwa warunki:\(\displaystyle{ f(0)>0}\) ; dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\) najmniejsza spośród liczb postaci \(\displaystyle{ f(k-l)+f(l)}\), gdzie \(\displaystyle{ l\in \ZZ}\), jest równa \(\displaystyle{ f(k)}\).

Dziękujemy wybawco! Myślę, że wielu sympatyków Olimpiady czekało na zadania jak na szpilkach!

Jak oceniacie poziom zadań?
Dwa pierwsze łatwe, ale zawiodłem się, bo nie było klasycznej torii liczb i jakieś trudne kombi :/ Wydaje mi się, że o wiele trudniejsze niż rok temu Jak wy oceniacie?

No pierwsze dwa w istocie proste. Trzecie już trochę trudniejsze, ale też bez przesady. Moim zdaniem to była klasyczna teoria liczb, ewentualnie teoria liczb z elementami algebry. Nie widzę za bardzo aspektu kombinatorycznego w tym zadaniu. Poza tym, to uważam, że zadania porównywalne poziomem z ubiegłorocznymi, może nawet ciut trudniejsze.

Mógłby ktoś podzielić się swoim rozwiązaniem do trzeciego? (najlepiej poprawnym)

To napiszę trzecie:

Szkic trzeciego: edit:
Świstak mnie wyprzedził o minutę Ale moje rozwiązanie jest troszeczkę inne (chociaż mniej eleganckie)

edit2:
Zadania moim zdaniem bardzo proste, nawet za proste.

Zadania:
4.Dana jest liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ k}\). Udowodnić, że istnieje liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), dla której zbiory \(\displaystyle{ A=\left\{ 1^2,2^2,3^2,...\right\}}\) i \(\displaystyle{ B=\left\{ 1^2+n,2^2+n,3^2+n,...\right\}}\) mają dokładnie \(\displaystyle{ k}\) wspólnych elementów.

5.Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą odpowiednio na półprostych \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AD}\), przy czym \(\displaystyle{ AP=CD}\), \(\displaystyle{ AQ=BC}\). Wykazać, że środek odcinka \(\displaystyle{ PQ}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AC}\).

6.W przestrzeni danych jest \(\displaystyle{ n}\) zielonych punktów, przy czym \(\displaystyle{ n \ge 4}\) i żadne cztery zielone punkty nie leżą na jednej płaszczyźnie. Niektóre odcinki łączące zielone punkty pomalowano na czerwono. Liczba czerwonych odcinków jest parzysta. Każde dwa różne zielone punkty łączy pewna łamana złożona z czerwonych odcinków. Udowodnić, że czerwone odcinki da się podzielić na takie pary, że odcinki z jednej pary mają wspólny koniec.

No to z tego co widzę, to dzisiaj jeszcze łatwiej niż wczoraj 4 i 5 są bardzo proste, za ostatnie jeszcze się nie zabierałem. Dwa pierwsze dzisiaj są prostsze niż wczorajsze i uważam, że jak na drugi dzień to za proste...
Oto szkice rozwiązań dwóch pierwszych zadań:

Zadanie 5. zrobiłem jak ty, ale męcząc się wcześniej dość długo

W 4. chyba jest jednak jeszcze drobna pułapka, która każe za n wziąć \(\displaystyle{ 3^{2k}}\), gdyż inaczej układ przy k=0 ma niecałkowite rozwiązanie.

Były więc chyba 4 proste zadania (proste dla olimpijskich starych wyjadaczy), ale to nie znaczy, że 100/600 osób rozwiązało wszystkie 4. Było sporo mocnych osób, które jakiegoś z nich nie zrobiły.

Jeśli po sprawdzeniu okaże się, że właśnie 4 trzeba było mieć (np. próg 22), to będzie bardzo dobrze świadczyć o tym zestawie zadań.

bakala12, masz malutki błąd:

Racja, dziękuję bardzo! W pośpiechu takie rzeczy wychodzą. Zaraz wyedytuję post.
A jeśli już stawiamy jaki będzie próg to pewnie standardowo koło 18-19, bo trzeba zauważyć że 4 zadania były proste, ale wśród nich są dwie geometrie, a z tym to różnie bywa

kfas pisze:W 4. chyba jest jednak jeszcze drobna pułapka, która każe za n wziąć \(\displaystyle{ 3^{2k}}\), gdyż inaczej układ przy k=0 ma niecałkowite rozwiązanie.

No nie do końca, gdyż k jest liczbą całkowitą dodatnią.

Ja właśnie nie zrobiłem obu geometrii i 3. Nie było klasycznej teorii liczb (No 3, ale to nie takie standardowe moim zdaniem). Ale przynajmniej świetnie się bawiłem i dużo sie nauczyłem

Jak ktoś pomyślał o zadaniu 6. z poprzedniego II etapu, to wnioski w dzisiejszej geometrii same się nasuwały- trzeba było dorysować równoległobok, a z tego już pykała teza. 4. zadanie było proste, ale też nie do konca trywialne. Z kolei 6. to trochę wredna opisówka i mam przeczucie, że poleci sporo zer za nie, bo łatwo przyblefic.