Matematyka.pl

Cześć szukam dowodu twierdzenia mówiącego, że każdy wielomian trzeciego stopnia (a najlepiej nieparzystego) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Wiem, że jeśli zaczniemy dyskutować na temat liczb zespolonych można zacząć mówić o pewnym twierdzeniu które mówi, że dla każdego wielomianu o dowolnym stopniu o współczynnikach rzeczywistych jeśli występują pierwiastki zespolone to występują one w parach ale poszukuje dowodu na niższym poziomie (nie wchodząc na liczby zespolone), kiedyś widziałem tego dowód (ale jedynie dla wielomianów trzeciego stopnia a nie dla ogólnego przypadku - nieparzystego stopnia) ale nie pamiętam gdzie i nie mogę tego znaleźć, bylo to fajnie pokazane na poziomie szkoły średniej i czegoś takiego szukam. Z góry wam dziękuje i pozdrawiam ! : )

To wynika łatwo z twierdzenia Bolzano-Cauchy'ego, bo wielomian jest funkcją ciągłą i zawsze przyjmuje wartości różnych znaków. Tak jak i każdy wielomian nieparzystego stopnia.

Jeśli znamy twierdzenie, że każdy wielomian rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, to też łatwo to wywnioskować. Ale to twierdzenie porównywalne jest stopniem trudności z zasadniczym twierdzeniem algebry.

Pamiętam, że dowód dla wyłącznie trzeciego stopnia nie był jakoś wyniosły kosmicznie, był bardzo sprytnie zrobiony i nie wychodził poza ramy szkoły średniej. Ale bardzo dziękuje Ci za tą informację, to cenne .


Ps. Co to jest zasadnicze twierdzenie algebry ??

Mówiłeś o nim w Twoim poście. No w zasadzie o pierwiastkach chodzących parami i stąd ten rozkład na czynniki stopnia co najwyżej 2.

Zasadnicze tw. algebry mówi, że każdy wielomian o współczynnikach zespolonych (wchodzą tu w grę także rzeczywiste), ma pierwiastek zespolony (może być w pewnych sytuacjach rzeczywisty).

W chwili obecnej nie przypominam sobie tego łatwego dowodu. Nie wątpię, że istnieje. Można by popracować w kierunku wzorów Cardano. Szczegóły są dostępne uczniom szkoły średniej.

Ah no tak, nie skojarzyłem tego twierdzenie z tą nazwą bo kojarzyłem je jedynie przez mgłę ; )

Uzasadnianie tego, tw. że każdy wielomian jest rozkładalny na czynniki stopnia co najwyżej drugiego jest nieprawdziwe, przecież każdy X do potęgi parzystej + 1 jest rozkładalny, a wcale nie ma miejsc zerowych.
Taka uwaga

Richard del Ferro pisze:Uzasadnianie tego, tw. że każdy wielomian jest rozkładalny na czynniki stopnia co najwyżej drugiego jest nieprawdziwe, przecież każdy X do potęgi parzystej + 1 jest rozkładalny, a wcale nie ma miejsc zerowych.
Taka uwaga

Przeczytałęś, ale nie do końca. Mowa była o wielomianach stopnia nieparzystego. Więc nawet jeżeli czynniki stopnia 2 nie maja pierwiastków, to pozostaje jeszcze czynnik stopnia 1.