pochodne kierunkowe

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mac412
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 sie 2007, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska

pochodne kierunkowe

Post autor: mac412 » 23 sie 2007, o 18:07

Witam. mam problem z zadaniem, nie wiem jak się za nie zabrać, więc prosze o pomoc.
Obliczyc pochodne kierunkowe funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^4+y^4+2xy+1}\) w punkcie (1,2) w kierunku wektora u=[3,-1]. Z góry dziękuje za pomoc

Poprawiłem zapis. luka52
Ostatnio zmieniony 23 sie 2007, o 18:10 przez mac412, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

pochodne kierunkowe

Post autor: luka52 » 23 sie 2007, o 18:16

\(\displaystyle{ \nabla_u f(x,y) = \nabla f \circ \vec{u } = ft[ 4x^3 + 2y, 4y^3 + 2x \right] \circ ft[3, -1 \right] = 12 x^3 + 6y - 4 y^3 - 2x\\
\nabla_u f(1,2) = 12 + 12 - 4 8 - 2 = -10}\)

panfilek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 kwie 2008, o 15:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

pochodne kierunkowe

Post autor: panfilek » 23 sie 2011, o 15:26

Wiem, że temat bradzo stary ale postanowiłem go poprawić bo może komuś pomoże w przyszłości:
\(\displaystyle{ fx'(x,y)= 4x^3 + 2y\\ fy'(x,y)= 4y^3 + 2x}\)
Korzystając ze wzoru:
\(\displaystyle{ f'L(x,y)= \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}} \cdot fx'(x,y)+\frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}} \cdot fy'(x,y)}\)
Gdzie A,B to \(\displaystyle{ [A,B]}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ f _{[1,2]} (x,y)= \frac{3 \cdot (4x^3 + 2 y)}{ \sqrt{3^2+(-1)^2}}+\frac{-1 \cdot (4y^3+2x)}{ \sqrt{3^2+(-1)^2}} = \frac{12x^3+6y-4y^3-2x}{ \sqrt{10}} = \frac{12 \cdot 1^3+6 \cdot (-2)-4 \cdot (-2)^3 \cdot 2x}{ \sqrt{10}} = \frac{-12}{ \sqrt{10}}}\)

Pozdrawiam mam nadzieje, że komuś pomogę.
Ostatnio zmieniony 23 sie 2011, o 15:52 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Znak mnożenia to \cdot. Umieszczaj CAŁE wyrażenie w jednych klamrach [latex][/latex], co poprawi przejrzystość zapisu.

owwca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 15 lis 2009, o 10:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sanok

pochodne kierunkowe

Post autor: owwca » 2 lut 2012, o 15:42

pomogłeś:)
strasznie dziekuje!

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9557
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2129 razy

pochodne kierunkowe

Post autor: Dasio11 » 4 lut 2012, o 15:35

Błędnie. :-)
luka52 chyba zapomniał unormować wektor, więc powinno wyjść \(\displaystyle{ -\frac{10}{\sqrt{10}}.}\)
panfilek pisze:\(\displaystyle{ f _{[1,2]} (x,y)= \frac{3 \cdot (4x^3 + 2 y)}{ \sqrt{3^2+(-1)^2}}+\frac{-1 \cdot (4y^3+2x)}{ \sqrt{3^2+(-1)^2}} = \frac{12x^3+6y-4y^3-2x}{ \sqrt{10}} = \frac{12 \cdot 1^3+6 \cdot (-2)-4 \cdot (-2)^3 \textcolor{red}{\cdot 2x}}{ \sqrt{10}} = \frac{-12}{ \sqrt{10}}}\)
Tu z kolei wygląda, jakbyś, panfilku, liczył pochodną w punkcie \(\displaystyle{ (1, -2).}\) Poza tym: co tam robi ten \(\displaystyle{ \cdot 2x?}\)

myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

pochodne kierunkowe

Post autor: myszka9 » 25 sty 2014, o 16:27

To jak powinno być rozwiązane to zadanie?
W Banasiu wynik tego zadania to -10. U mnie na zajęciach robiliśmy dokładnie w ten sam sposób.

Jak powinno się poprawnie liczyć pochodne kierunkowe w takim razie?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9557
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2129 razy

pochodne kierunkowe

Post autor: Dasio11 » 25 sty 2014, o 17:15

Muszę się poprawić. Rozwiązanie w książce oraz to, które przedstawił luka52, są prawidłowe, gdy definicja pochodnej kierunkowej \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ \mathbf{v}}\) wzdłuż wektora \(\displaystyle{ \mathbf{u}}\) wygląda tak:

\(\displaystyle{ \nabla_{\mathbf{u}} f( \mathbf{v} ) = \lim_{t \to 0} \frac{ f( \mathbf{v} + t \cdot \mathbf{u} ) - f( \mathbf{v} ) }{ t }.}\)

Tej definicji poprzednio nie znałem, więc stosowałem inną:

\(\displaystyle{ \nabla_{\mathbf{u}} f( \mathbf{v} ) = \lim_{t \to 0} \frac{ f( \mathbf{v} + t \cdot \mathbf{u} ) - f( \mathbf{v} ) }{ t \cdot | \mathbf{u} | }.}\)

Stąd bierze się ten dodatkowy czynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{10}},}\) który różni nasze wyniki.

myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

pochodne kierunkowe

Post autor: myszka9 » 25 sty 2014, o 18:30

Skąd rozbieżności w definicji?

ODPOWIEDZ