całka niewłaściwa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

całka niewłaściwa

Post autor: joannna » 23 sie 2007, o 17:15

hej mam prośbe bo nie mam odp do tych całek i nie wiem czy dobrze robie bede sie sprawdzac
1)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1dx}{(\sqrt[3]{3x+8})^{4}}}\)
2)\(\displaystyle{ \int\limits_{27}^{+\infty}\frac{1dx}{(\sqrt[3]{x}-2)x}}\)
3)\(\displaystyle{ \int\limits_{9}^{+\infty}\frac{1dx}{\sqrt[2]{x}(x-4)}}\)
4)\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sqrt[2]{x}dx}{(x-1)^{2}}}}\)
5)\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1dx}{(\sqrt[2]{x}+1)x}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Nty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 maja 2007, o 23:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Pomógł: 24 razy

całka niewłaściwa

Post autor: Nty » 23 sie 2007, o 17:48

Ok, to już masz odpowiedzi
1) \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
2)\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\ln{3}}\)
3)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln{5}}\)
4)\(\displaystyle{ \infty}\)
5)\(\displaystyle{ 2\ln{2}}\)

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

całka niewłaściwa

Post autor: joannna » 23 sie 2007, o 20:59

to znowu ja mozecie mi napisac jak zrobic 1 4 i 5 bo mi co innego wychodzi za kazdym razem

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

całka niewłaściwa

Post autor: Calasilyar » 23 sie 2007, o 21:10

1)
\(\displaystyle{ t=3x+8\\
dt=3dx\\
t \frac{dx}{(\sqrt[3]{3x+8})^{4}}= \frac{1}{3}\int t^{-\frac{4}{3}}dt=-\frac{1}{\sqrt[3]{3x+8}}+C\\
\lim\limits_{A\to }\int\limits_{0}^{A} \frac{dx}{(\sqrt[3]{3x+8})^{4}}=\lim\limits_{A\to }[-\frac{1}{\sqrt[3]{3x+8}}]^{A}_{0}=\lim\limits_{A\to }(-\frac{1}{\sqrt[3]{3A+8}}+\frac{1}{\sqrt[3]{8}})=\frac{1}{2}}\)

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

całka niewłaściwa

Post autor: joannna » 23 sie 2007, o 21:57

jeszcze tylko 2 jakbyscie mogli bo mi wychodzicos zle

[ Dodano: 23 Sierpnia 2007, 22:24 ]
bylabym ogromnie wdzieczna jakby ktos mi pokazal jak je rozwiazuje bo nie umiem

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka niewłaściwa

Post autor: luka52 » 23 sie 2007, o 22:49

ad 2.
Podstawienie \(\displaystyle{ t = \sqrt[3]{x}}\) i otrzymujemy (po scałkowaniu):
\(\displaystyle{ = 3 \lim_{\epsilon \to + } ft[ 0.5 \ln{|t-2|} - 0.5 \ln |t| \right]_3^{+\infty} = 0 - ft( - \frac{3}{2} \ln 3 \right) = \frac{3}{2} \ln 3}\)

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

całka niewłaściwa

Post autor: joannna » 23 sie 2007, o 23:04

kurcze dzieki wielkie ale wlasnie mam problemy w kazdym z wyprowadzeniem tej funkcji do ladnej sytuacji zeby wyciagnac z calki mam cos podobnego ale jednak zle jakbys mogl napisac mi jak tam sprowadzales przez co dzielilo kompletnie mi sie myla te calki i motam sie i żadna mi dobrze nie wychodzi

[ Dodano: 23 Sierpnia 2007, 23:30 ]
poddaje się nie umiem wyjść spod całki wracam do pierwszej funkcji cały czas jak ktos bedzie miał chwile to prosze o pokazanie mi jak byscie zrobili te przykłady bo one są pewnie ważne a ja wogole nie potrafie z góry dziękuje

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

całka niewłaściwa

Post autor: soku11 » 24 sie 2007, o 02:22

Rozpisze ci calke nieoznaczona przyklad 5, a dalej sobie poradzisz

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(\sqrt{x}+1)x}\\
\sqrt{x}=t\\
x=t^{2}\\
dx=2tdt\\
\\
t \frac{dx}{(\sqrt{x}+1)x}=\int \frac{2tdt}{(t+1)t^{2}}=
2\int \frac{dt}{(t+1)t}=2\int (\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})=2\int \frac{dt}{t}-2\int\frac{dt}{t+1}=2ln|t|-2ln|t+1|=2ln\left| \frac{t}{t+1} \right|=
2ln\left| \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right|}\)


POZDRO

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

całka niewłaściwa

Post autor: joannna » 24 sie 2007, o 07:14

ok fajnie tylko kolega mi w tym 2 napisal jak rozwiazac ale ja nie umiem tam wyprowadzic bo tutaj wiem z jakiej zaleznosci skorzystałes

[ Dodano: 24 Sierpnia 2007, 08:18 ]
bardzo prosze jak możecie ta 3 i 4 bo siedze juz drugi dzien i naprawde nie wiem jak wyliczyc to pod całkami

Awatar użytkownika
Nty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 maja 2007, o 23:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Pomógł: 24 razy

całka niewłaściwa

Post autor: Nty » 24 sie 2007, o 09:55

3) \(\displaystyle{ \int\limits_{9}^{+\infty}\frac{1dx}{\sqrt[2]{x}(x-4)}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{n \to } t_9^n \frac{1dx}{\sqrt[2]{x}(x-4)}=
ft| x=t^2 | dx=2tdt \right| = 2\lim_{n \to } t_3^{\sqrt{n}} \frac{dt}{(t^2-4)}\stackrel{\star}{=}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{t^2-4}=\frac{1}{(t-2)(t+2)}\equiv \frac{A}{t-2}+\frac{B}{t+2}\\
1= (t+2)A+(t-2)B\\

\mbox{dla } t=2\\}\)

\(\displaystyle{ 1=4A\\
A=\frac{1}{4}\\}\)

\(\displaystyle{ \mbox{dla } t=-2\\}\)
\(\displaystyle{ 1=-4B\\
B=-\frac{1}{4}\\}\)


\(\displaystyle{ \stackrel{\star}{=}\frac{1}{2}\lim_{n \to } ft[\int_3^{\sqrt{n}} \frac{dt}{t-2}-\int_3^{\sqrt{n}} \frac{dt}{t+2}\right]=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\lim_{n \to } ft[ \ln{(t-2)}-\ln{(t+2)} \right]_{3}^{\sqrt{n}}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\lim_{n \to } ft(\ln{(\sqrt{n}-2)}-\ln{(\sqrt{n}+2)+\ln{5}\right)=
\frac{1}{2}\lim_{n \to }\left( \ln{(\frac{\sqrt{n}-2}{\sqrt{n}+2})}+\ln{5}\right)=}\)


\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\lim_{n \to } ft( \ln{(\frac{1-\frac{2}{\sqrt{n}}}{1+\frac{2}{\sqrt{n}}})}+\ln{5}\right)= \frac{1}{2}\ln{5}}\)

4)\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sqrt[2]{x}dx}{(x-1)^{2}}}}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ x=t^2}\) doprowadzi Cię do celu, po tylu rozwiązanych przykładach choć jeden powinnaś potrafić rozwiązać.
Proponuję również nabyć, pożyczyć jakąś książkę do analizy (np. Krysicki-Włodarski, Leja) w celu opanowania podstawowych metod całkowania.

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

całka niewłaściwa

Post autor: joannna » 24 sie 2007, o 20:16

dzieki za rade juz powtorzylam przeciez to bylo wszystko w nieoznaczonych ale nie spotkalam sie tylko z zamiana na parametr t i takze zakresu całkowania i czy np w pierwszym nie musiałam zmieniac na 8 po podstawieniu pod x 0

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

całka niewłaściwa

Post autor: Calasilyar » 24 sie 2007, o 23:04

joannna pisze:ale nie spotkalam sie tylko z zamiana na parametr t
? po prostu metoda podstawiania...
joannna pisze:czy np w pierwszym nie musiałam zmieniac na 8 po podstawieniu pod x 0
tu nie ma żadnej "zmiany" (boję się tego słowa, bo kojarzy się z magią i królikami z kapelusza, a nie z matmą ), tylko zwykłe przejście. Można napisać to dłużej, tzn.: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{3\cdot 0 +8}}= \frac{1}{\sqrt[3]{0 +8}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2}}\), ale to skróciłem

mam nadzieję, że wszystko jasne

ODPOWIEDZ