równanie różniczkowe niejednorodne czy może byc jednak

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

równanie różniczkowe niejednorodne czy może byc jednak

Post autor: joannna » 23 sie 2007, o 16:23

mam takie równanie gdzie wychodzi mi dwoma metodami ze rozwiązaniem jest tylko równanie z rozwiązaniami jednorodnymi\(\displaystyle{ y=c1+c2e^{4x}}\)
a równanie jest następujące \(\displaystyle{ y''-4y'=12x^{2}}\)
czy dobrze mi wyszło czy to możliwen jesli komus inaczej by wyszło to prosze o jakies wskazówki
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

równanie różniczkowe niejednorodne czy może byc jednak

Post autor: luka52 » 23 sie 2007, o 17:08

[quote="joannna"]z rozwiązaniami jednorodnymi[/quote]
Rozwiązania jednorodne :???: :?:

Równanie \(\displaystyle{ y'' - 4 y' = 12x^2}\) jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego sprowadzalnym do równania rzędu pierwszego przez podstawienie y'(x) = p(x).
Po podstawieniu mamy:
\(\displaystyle{ p' - 4p = 12x^2}\)
Jednym ze sposobów na rozwiązanie tego równania jest najpierw rozwiązanie równania jednorodnego \(\displaystyle{ p' - 4p = 0}\) a następnie zastosowanie metody uzmienniania stałej lub też metodą przewidywań, która w tym przypadku chyba lepiej się sprawdzi (ale to raczej jest kwestia indywidualna).

Rozwiązaniem jest oczywiście \(\displaystyle{ p(x) = - \frac{3}{8}\left(8x^2 + 4 x + 1) + C_1 e^{4x}}\)
A w celu otzrymania ostatecznego wyniku należy obliczyć: \(\displaystyle{ y(x) = \int p(x) \, \mbox{d}x = \ldots}\)

Awatar użytkownika
Nty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 maja 2007, o 23:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Pomógł: 24 razy

równanie różniczkowe niejednorodne czy może byc jednak

Post autor: Nty » 23 sie 2007, o 17:40

[quote="joannna"]rozwiązaniami jednorodnymi
[/quote]

Wystarczy przeczytać to co podkreśliłem w cytacie i wiemy, że Twój wynik jest niepoprawny :razz:
Jeśli chodzi o sprawdzenie to zawsze możesz zróżniczkować funkcję \(\displaystyle{ y(x)}\) odpowiednią ilość razy i wstawić do równania, jeśli otrzymasz prawą stroną to znaczy, że dobrze rozwiązałaś.
Ok, przejdźmy do zadania
Twój wynik to rozwiązanie równania jednorodnego, więc pozostaje nam znaleźć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego i jesteśmy w domu :wink:
Zastosujmy metodę przewidywań,
z racji tego iż prawa strona równania ma postać \(\displaystyle{ P(x)e^{\alpha x}}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) jest wielomianem stopnia drugiego, a \(\displaystyle{ \alpha=0}\)
będziemy przewidywać wynik w postaci \(\displaystyle{ x^sQ(x)e^{\alpha x}}\),
gdzie Q jest wielomianem tego samego stopnia co P,
\(\displaystyle{ s=1}\), gdyż 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, a \(\displaystyle{ \alpha=0}\) , stąd mamy:
\(\displaystyle{ y_s(x)=ax^3+bx^2+cx}\),
różniczkujemy ją dwukrotnie
\(\displaystyle{ y'_s=3ax^2+2bx+c, \quad y''_s=6ax+2b}\)
i wstawiamy do naszego równania:

\(\displaystyle{ 6ax+2b-4(3ax^2+2bx+c) \equiv 12x^2\\
6ax+2b-12ax^2-8bx-4c \equiv 12x^2 \\
-12ax^2+(6a-8b)x+2b-4c \equiv 12x^2}\)


Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach i zapisujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lll}
-12a&=&12\\
6a-8b&=&0\\
2b-4c&=&0 \\
\end{array} \right.
\\
\left\{\begin{array}{lll}
a&=&-1\\
b&=&-\frac{3}{4}\\
c&=&-\frac{3}{8} \\
\end{array} \right.}\)



Wstawiamy współczynniki do \(\displaystyle{ y_{s}(x)}\) i mamy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego.

\(\displaystyle{ y_s(x)=-x^3-\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{8} x}\)

zatem rozwiązaniem ogólnym równanie niejednorodnego jest
\(\displaystyle{ y(x)=c_1+c_2e^{4x}-x^3-\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{8} x}\)

[quote="luka52"] jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego sprowadzalnym do równania rzędu pierwszego przez podstawienie y'(x) = p(x).
[/quote]
Nasze równanie to równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu drugiego, sposóbów na rozwiązanie jest multum, m. in można tak jak napisałeś poprzez podstawienie, jednak na ogół rozwiązujemy takie równania metodą przewidywań bądź też uzmienniania stałych.
W tym przypadku rozwiązanie ogólne niejednorodnego to rozwiązanie jednorodnego + szczególne niejednorodnego.

ODPOWIEDZ