Matematyka.pl

Zapoznałem się już ze sposobem rozwiązywania tego typu zadań, tj.
\(\displaystyle{ 103:4 = 25}\) i reszta\(\displaystyle{ 3}\). Jak na tej podstawie mam wywnioskować cyfrę jedności?

Liczba to \(\displaystyle{ 2^{103}}\)

\(\displaystyle{ 2^{103}=(2^{4})^{25}\cdot 2^{3}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 2^{4}\equiv 1\pmod{5}}\), to \(\displaystyle{ 2^{103}\equiv 3\pmod{5}}\). Dalej wystarczy zauważyć, że liczba \(\displaystyle{ 2^{103}}\) jest parzysta.

Jeśli chcesz zbadać cyfrę jedności liczby \(\displaystyle{ 2^{103}}\) czyli jej ostatnia cyfrę, to musisz policzyć resztę z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 10}\) czyli wiedzieć jak wygląda ona w \(\displaystyle{ Z_{10}}\).

Możesz w tym celu skorzystać z funkcji Eulera i twierdzenia Eulera lub właności kongruencji.

Wydaje mi się, że @vergil sugerował coś takiego. Kolejne potęgi mają cyfrę jedności:

\(\displaystyle{ 2,4,8,6,2,4,8,6....}\). U nas jest \(\displaystyle{ 25}\) pełnych okresów i zostaje jeszcze trzy elementy z ostatniego (niepełnego) okresu. Czyli będzie cyfra jedności jak w trzecim elemencie pierwszego okresu. Pewnie mało to naukowe ale jakiś tam sposób jest.

yyyy....

Zakładając, że dali nam to zadanie na arkusz ćwiczeniowy do matury podstawowej, nie sądze by wymagali znajomości ambitnych twierdzeń. Co skutkuje tym, że nie rozumiem o czym do mnie piszecie

OK, możesz nie rozumieć tego, co napisaliśmy ja i Poszukujaca, ale chyba wskazówka
pesela nie przekracza Twoich możliwości zrozumienia?

Co do mojej wypowiedzi, to \(\displaystyle{ 2^{4}\equiv 1\pmod{5}}\) to tylko zapis, to oznacza, że \(\displaystyle{ 2^{4}}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\). Ostatnia cyfra liczby w zapisie dziesiętnym to reszta z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 10}\),więc wystarczy zbadać reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2}\) i przez \(\displaystyle{ 5}\), bo \(\displaystyle{ 10=2\cdot 5}\) oraz \(\displaystyle{ \NWD(2,5)=1}\). Skoro \(\displaystyle{ 2^{103}}\) jest parzysta, to daje resztę \(\displaystyle{ 0}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2}\). A skoro \(\displaystyle{ 2^{4}}\) daje resztę 1 z dzielenia przez 5, to również \(\displaystyle{ (2^{4})^{25}=2^{100}}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\), a wobec tego \(\displaystyle{ 2^{103}=2^{100}\cdot 2^{3}}\) daje taka samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\), co \(\displaystyle{ 8}\).

\(\displaystyle{ 2^{1}=2}\) - cyfra jedności \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ 2^{2}=4}\) - cyfra jedności \(\displaystyle{ 4}\).

\(\displaystyle{ 2^{3}=8}\) - cyfra jedności \(\displaystyle{ 8}\).

\(\displaystyle{ 2^{4}=16}\) - cyfra jedności \(\displaystyle{ 6}\).

\(\displaystyle{ 2^{5}=32}\) - cyfra jedności znowu \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ 2^{6}=64}\) - cyfra jedności znowu \(\displaystyle{ 4}\), itd...

Można to spróbować uogólnić:

1. Do potęgi \(\displaystyle{ 1,5,9,13,17.....(4n+1)}\) będzie cyfra jedności \(\displaystyle{ 2}\).

2. Do potęgi \(\displaystyle{ 2,6,10,14,18.....(4n+2)}\) będzie cyfra jedności \(\displaystyle{ 4}\).

3. Do potęgi \(\displaystyle{ 3,7,11,15,19.....(4n+3)}\) będzie cyfra jedności \(\displaystyle{ 8}\).

4. Do potęgi \(\displaystyle{ 4,8,12,16,20.....(4n+4)}\) będzie cyfra jedności \(\displaystyle{ 6}\).

Gdzie \(\displaystyle{ n=0,1,2....}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ 103=4 \cdot 25+3}\) to mamy trzeci przypadek.