wymierne czy tez nie?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
dabros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1121
Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 4 razy

wymierne czy tez nie?

Post autor: dabros » 22 sie 2007, o 20:28

jak udowodnić wymierność lub nie (podejrzewam to drugie) wyrażenia: \(\displaystyle{ \tan 1^0}\) ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

wymierne czy tez nie?

Post autor: Piotr Rutkowski » 22 sie 2007, o 20:36

Szczerze mówiąc nie chce mi się za bardzo upewniać, ale powinno być podobnie jak z sinusem, patrz tu:
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=33940

Awatar użytkownika
dabros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1121
Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 4 razy

wymierne czy tez nie?

Post autor: dabros » 22 sie 2007, o 20:48

ale jaki wzor zastosowac do tangensa zamiast jedynki trygonometrycznej (bo przeciez gdy sin1 i cos1 sa niewymierne, to tg1 moze byc wymierny); czekam na dalsze wyjasnienia lub inne propozycje

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

wymierne czy tez nie?

Post autor: Rogal » 23 sie 2007, o 01:28

Można na przykład niewprost założyć, że tg 1 jest wymierne. Wiedząc to, wiemy, że tg 3 też byłby wymierny, jako suma skończona czterech podstawowych działań. Jednak z drugiej strony możemy policzyć tg (75-72) i nie otrzymamy liczby wymiernej, co prowadzi do oczekiwanej sprzeczności, więc tg 1 nie jest wymierną liczbą.

Awatar użytkownika
dabros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1121
Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 4 razy

wymierne czy tez nie?

Post autor: dabros » 23 sie 2007, o 09:32

a można trochę jaśniej z tą sumą działań i sposobem obliczenia tan(75-72) ??

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

wymierne czy tez nie?

Post autor: Rogal » 24 sie 2007, o 00:33

Jasne, że można.
Przyjmujemy niewprost, że tg1 jest liczbą wymierną. Teraz dwukrotnie ze wzorów na tangens sumy mamy:
\(\displaystyle{ \tan 2^{o} = \tan (1+1)^{o} = \frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}} \\ \tan 3^{o} = \tan (2+1)^{o} = \frac{\tan 2^{o} + \tan 1^{o}}{1-\tan 2^{o} \tan 1^{o}} = \frac{\frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}} + \tan 1^{o}}{1-\tan 1^{o} \frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}}}}\)
Można to oczywiście poupraszczać, ale nam już to nie jest konieczne, bo zauważmy, że tg 3 jest tutaj wyrażony poprzez cztery działania wymierne, więc wynik tego działania musi być wymierny, zgodnie z założeniem o wymierności tg 1.
Jednak możemy sobie spokojnie policzyć, że
\(\displaystyle{ \tan 3^{o} = \tan(75-72)^{o} = \frac{\tan 75^{o} - \tan 72^{o}}{1+\tan 75^{o} \tan 72^{o}} = \frac{2+\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{1+(2+\sqrt{3})(\sqrt{2}-1)} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2\sqrt{2} - \sqrt{3} - 1} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)(2\sqrt{2}-1)} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)(2\sqrt{2}+1)}{14}}\)
W liczniku jest liczba niewymierna (wymnóż sobie jak nie wierzysz, mnie się nie kce już ;p), mianownik jak najbardziej wymierny, co dowodzi sprzeczności z naszym założeń, więc tg3 jest niewymierny.

Tak tak, wiem, bardzo to brzydkie i brutalne, ale skuteczne ;]

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wymierne czy tez nie?

Post autor: max » 25 sie 2007, o 22:59

Możnaby też wykazać indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ \tan 1^{\circ} \mathbb{Q} \forall n\in \mathbb{N}\, (\forall k \mathbb{N} \, (n^{\circ} 90^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}) \tan n^{\circ}\in \mathbb{Q})}\)
a następnik implikacji jest bzdurą oczywistą c.k.d.

ODPOWIEDZ