Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f:[0,1] \rightarrow R}\) bedzie funkcją ciągłą spełniającą warunek

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{f(x)+f(1-x)}{x} =1}\)

Wykazać, że istnieje \(\displaystyle{ y \in [0,1]}\) takie, że \(\displaystyle{ f(y)=0}\)

Prosze o pomoc, nie wiem jak to rozwiązać
tak na oko przeczuwam własność Darboux ale nie wiem jak do tego dojść

Zapisz co tu oznacza definicja granicy. Potem ustal epsilon.

Spróbuj wywnioskować, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}f(x)+f(1-x)=0}\). Z ciągłości \(\displaystyle{ f}\), a więc i ciągłości \(\displaystyle{ g(x)=f(x)+f(1-x)}\) wyciągnij z kolei wniosek, że \(\displaystyle{ f(0)+f(1)=0}\). Dalej trywialne.-- 12 lut 2016, o 16:15 --Aha, dodam, że dobrze przeczuwasz.