Nierówność z wartością bezwzględną

[Radek_W]

Cześć! Rozwiązałem zadanie z podręcznika MATeMAtyka 2 (zad.1/106 b)), ale moje rozwiązanie nie zgada się z odpowiedziami z tyłu podręcznika. I z tym właśnie do was przychodzę, żebyście mi wyjaśnili dlaczego. Dodam, że w podpunkcie f) miałem podobną sytuację co w b), ale wynik był prawidłowy. A może mają po prostu z tyłu błąd?

\(\displaystyle{ D:x \in R \setminus \left\{ 2\right\}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\left| 4x-8\right| } > -3 \ / \cdot \left| 4x-8\right|}\)

\(\displaystyle{ 1>-3\left| 4x-8\right| \ /:(-3)}\)

\(\displaystyle{ \left| 4x-8\right|>-\frac{1}{3}}\)
_______________________________________________________________________________
gdy \(\displaystyle{ x \ge 2}\)

\(\displaystyle{ 4x-8>- \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ 4x> \frac{23}{3} \ /:4}\)

\(\displaystyle{ x> \frac{23}{12}}\)

\(\displaystyle{ x> 1\frac{11}{12}}\)

\(\displaystyle{ x \in \left( 1 \frac{11}{22} ;2\right) \cup \left( 2; \infty\right)}\)
_______________________________________________________________________________
gdy \(\displaystyle{ x < 2}\)

\(\displaystyle{ -4x+8 > -\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ -4x >- \frac{25}{3} \ /:(-4)}\)

\(\displaystyle{ x < \frac{25}{12}}\)

\(\displaystyle{ x < 2 \frac{1}{12}}\)

\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;2\right) \cup \left( 2; 2 \frac{1}{12}\right)}\)

O ile dobrze rozumiem wynikiem powinna być część wspólna tych dwóch przedziałów, czyli
\(\displaystyle{ x \in \left( 1\frac{11}{12} ;2\right) \cup \left(2; 2\frac{1}{12} \right)}\)
Ale w odpowiedziach jest, że cała dziedzina jest rozwiązaniem, czyli to
\(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ 2\right\}}\)

Nie wiem czy na tym forum tak można, ale wstawiam jeszcze zdjęcie z zadaniem na kartce

AU

83879780540377815653_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 136 razy

[/url]

[Milczek]

Ukryta treść:    

Cześć! Rozwiązałem zadanie z podręcznika MATeMAtyka 2 (zad.1/106 b)), ale moje rozwiązanie nie zgada się z odpowiedziami z tyłu podręcznika. I z tym właśnie do was przychodzę, żebyście mi wyjaśnili dlaczego. Dodam, że w podpunkcie f) miałem podobną sytuację co w b), ale wynik był prawidłowy. A może mają po prostu z tyłu błąd?

\(\displaystyle{ D:x \in R \setminus \left\{ 2\right\}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\left| 4x-8\right| } > -3 \ /:(-3)}\)

\(\displaystyle{ \left| 4x-8\right|>-\frac{1}{3}}\)

Co to za przekształcenie w ogóle? Musisz zacząć od poprawienia tego

Przekształcenie jest oczywiście poprawne , mój głupi błąd przepraszam.

[NogaWeza]

Podpowiedź: popatrz na własność wartości bezwzględnej. Przecież dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) zachodzi \(\displaystyle{ |a| \ge 0}\)

[cosinus90]

Przede wszystkim to skoro w założeniu masz, że \(\displaystyle{ x \ge 2}\), to wypada to założenie uwzględnić przy rozwiązaniu. Przedział \(\displaystyle{ x \in \left( 1 \frac{11}{22} ;2\right) \cup \left( 2; \infty\right)}\) nie uwzględnia założenia początkowego. Tak samo w drugim przypadku.

O ile dobrze rozumiem wynikiem powinna być część wspólna tych dwóch przedziałów

Nie, należy wziąć ich sumę. Zastanów się, dlaczego.

P.S. Schematyczność przesłoniła Ci proste rozwiązanie - spójrz na początkową postać nierówności i pomyśl, dlaczego rozwiązaniem będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem punktu nieleżącego w dziedzinie -- 12 lut 2016, o 15:07 --Milczek, to jest dobre przekształcenie ale na pewno nie po podzieleniu obustronnie przez \(\displaystyle{ -3}\)

[Radek_W]

Milczek, sorry źle przepisałem to z kartki, teraz już jest dobrze
cosinus90, Faktycznie! Dzięki! Przecież co kol wiek bym nie podstawił za x to i tak będzie większe od -3