Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: kuma » 22 sie 2007, o 15:16

Dany jest trójkąt MBC oraz takie punkty A i D, leżące odpowiednio na bokach MB i MC, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie E, a półproste w punkcie E, a półprosta ME jest dwusieczną kąta BMC. Wykaż, że |MB|=|MC|.

-------------------------------
Jak to zrobić? Proszę o pomoc

Temat zmieniłam.Proszę o pisanie bardziej dokładnych tematów.
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2007, o 12:19 przez kuma, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: Grzegorz t » 23 sie 2007, o 11:13

Jakie półproste w punkcie \(\displaystyle{ E}\) są jakeś dwie półproste proszę jaśniej to napisać

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: kuma » 23 sie 2007, o 12:06

Przepraszam pomyłka przy przepisywaniu. Oto poprawnie przepisane zadanie:

Dany jest trójkąt MBC oraz takie punkty A i D, leżące odpowiednio na bokach MB i MC, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie E, a półprosta ME jest dwusieczną kąta BMC. Wykaż, że |MB|=|MC|.

Posty poprawia się za pomocą umieszczonego w prawym górnym rogu postu przycisku "zmień". To tak na przyszłość. Calasilyar
Ostatnio zmieniony 23 sie 2007, o 12:14 przez kuma, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: Justka » 23 sie 2007, o 16:10

Pomocniczy rysunek:

Czworokąt ABCD jest trapezem. Aby można było opisać na nim okrąg musi być spełniony warunek :\(\displaystyle{ \alpha+\gamma=\beta+\delta}\).
Z uwagi na to, że jest to trapez i wiedząc, że kąty przy tym samym ramieniu dają w sumie \(\displaystyle{ 180^o}\) to możemy napisać:
\(\displaystyle{ \alpha=180^o-\delta\\
\beta=180^o-\gamma}\)

I podstawiamy do założenia:
\(\displaystyle{ 180^o-\delta+\gamma=180^o-\gamma+\delta\\
2\delta=2\gamma\\
\delta=\gamma}\)

Z tego wniosek, że trapez jest równoramienny, poniewaz katy przy podstawie są równe.

Więc juz mozna stwierdzić, że |MB|=|MC| dlatego, że kąty \(\displaystyle{ \delta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) są katami trójkata MBC. A wiedomo, że trójkąt którego katy przy podstawie mają taka samą rozwartość jest równoramienny.
Idąc dalej odcinki |AC| i |BD|, które są przekątnymi trapezu także muszą być równe. Przecinają się one w punkcie E leżącym dokładnie na symetralnej odcinków BC i AD. Czyli na prostej (nawijmy ją \(\displaystyle{ k}\)). Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest prostopadła do BC czyli jest wysokością trojkata MBC. A wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokość dzieli kąt nie leżący w podstawie na połowy. A więc udowodniliśmy fakt, że półprosta ME jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \epsilon}\)
Myslę, że to starczy aby udowodnić, że |MB|=|MC|

Pozdrawiam

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: Gregorias » 23 sie 2007, o 16:40

Justka, zgodzę się z twoim rozwiązaniem, ale przedstaw mi tylko dowód na to, że czworokąt ABCD jest trapezem. Też się zastanawiałem nad tym zadaniem i to samo mi wyszło (gdyż byłem pewien, że to trapez) tyle, że nie wiedziałem jak udowodnić na 100%, że ABCD to trapez(nie wiem, mam jakieś zaćmy ostatnio przy rozwiązywaniu zadań )

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: kuma » 23 sie 2007, o 21:23

No właśnie, w jaki sposób udowodnić, że czworokąt ABCD jest trapezem Mając to można by rozwiązać to zadanie tak jak zrobiła to Justka.

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: Justka » 23 sie 2007, o 21:32

hm.. to bedzie trudne. Jak robiłam to zadanie to poprostu stwierdziłam że to musi byc trapez. Ale teraz widzę, że to nie jest takie oczywiste Jutro napisze dowód, jak coś wymyślę
A wy też pomyślcie

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: Gregorias » 23 sie 2007, o 22:44

Hehe... myślę, że mam. Wystarczyło tylko, że rozrysuję kąty w tym trójkącie i czworokącie. Jako, iż jest późno, a nie mam narzędzi do rysowania takich rzeczy(Justka możesz powiedzieć co ty używasz?) to powiem tylko żebyście sobie kąt jaki dzieli dwusieczna oznaczyli jako alfa, a kąty jakie tworzy ona przy naprzeciwległym boku jako: beta i 180-beta. Wyjdzie wam, że to jest trapez i co więcej, że dwusieczna jest wysokością. Proszę sprawdzcie to i powiedzcie czy dobrze, bo wciąż nie wiem po co w zadaniu jest powiedziane, że dwusieczna przecina punkt E :/ . Czyżbym coś ominął?

PS Przepraszam za brak LaTeX, ale jest późno, a ja się go nie nauczyłem jeszcze.

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: kuma » 24 sie 2007, o 10:08

Myślę, że wreszcie rozwiązałem to zadanie. Pomógł mi rysunek Justki (tylko inaczej na to popatrzyłem).

Rozpatrzmy trójkąty \(\displaystyle{ MEC}\) i \(\displaystyle{ MDB}\).
Kąty przy wierzchołku M w obu trójkątach są równe (bo tam była dwusieczna).
Kąt MCE jest równy kątowi DBM jako oparte na tym samym łuku i odcinek ME jest wspólny więc na podstawie cechy KBK są to trójkąty przystające, więc \(\displaystyle{ |MB|=|MC|}\)


Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: Gregorias » 24 sie 2007, o 10:31

Kuma, masz rację . Jak teraz patrzę to trochę z tych kątów to się pospieszyłem z wnioskiem i chyba jednak nie wyjdzie to co myślałem .

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

Post autor: Justka » 24 sie 2007, o 12:18

Tak, Kuma masz rację. :wink: Więc mamy problem z głowy :razz: :mrgreen: Też wczoraj próbowałam kombinowac troche z kątami, ale nie mogłam już nic wymyśleć. Teraz widzę, że to wcale nie było trudne do zauważenia.
Justka możesz powiedzieć co ty używasz?
Gregorias ja używam GeonexTa, bardzo fajny prosty w obsłudze programik :wink: Jak chcesz pobrać to prosze--->GeonexT
Pozdrawiam

ODPOWIEDZ