Matematyka.pl

Wyznacz czas całkowitego opróżnienia zbiornika walcowego o wys. \(\displaystyle{ H}\) i środku \(\displaystyle{ D}\). Otwór wypływowy o średnicy \(\displaystyle{ d}\) znajduje się w centralnie w dnie zbiornika i w jego osi symetrii. Współczynnik wypływu \(\displaystyle{ \nu=1}\).

\(\displaystyle{ \mbox{d}V=pS\nu \mbox{d}t}\)
chyba Nie pokrecilam:P \(\displaystyle{ p}\) ciśnienie,a szybkość wyplywania proporcjonalnie do ciśnienia i powierzchni oraz wsp. wypływu:P:P
Całka od 0 do Nie znanego czasu i równanie z 1 Nie wiadomą:P

Mogę prosić o kontynuację?

\(\displaystyle{ D}\) średnica??:P:P
napisałam,musisz zrobić całke \(\displaystyle{ x}\) poziom wody
\(\displaystyle{ p= \rho gx}\)

\(\displaystyle{ V (t)=x(t) \pi \frac{D ^{2} }{4}}\)

\(\displaystyle{ x(t) = \frac{V (t)}{\pi \frac{D ^{2} }{4}}}\)

masz tu wszytko:P

1.Prędkość chwilowa swobodnego wypływu w otworze:
\(\displaystyle{ v=\phi \sqrt{2g \cdot z}}\) (1)
/Przepis wyprowadzony z równania Bernoulliego przy założeniu:
Brak dopływu cieczy- prędkość dopływu cieczy \(\displaystyle{ v _{1}=0}\).
Ciśnienia jednakowe -na pow. zwierciadła i przy wypływie./
\(\displaystyle{ z}\), - wysokość zwierciadła cieczy w danej chwili,
\(\displaystyle{ \phi}\), - współczynnik prędkości
2.Wydatek chwilowy:
\(\displaystyle{ Q= \alpha \cdot A _{w} \cdot v= \alpha \cdot\phi \cdot A \cdot \sqrt{2g \cdot z}}\) \(\displaystyle{ [m ^{3}/s]}\)
\(\displaystyle{ A _{w}}\), -pole przekroju wypływu cieczy z otworu o śred. \(\displaystyle{ d}\),
\(\displaystyle{ \alpha}\), -współcz. dławienia
2.1. Przyjmujemy:
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \phi=\mu}\), współczynnik wydatku
Ostatecznie wydatek:
\(\displaystyle{ Q=\mu \cdot A _{w} \cdot \sqrt{2g \cdot z}}\), (2)
3. Czas t opróżnienia zbiornika z porównania objętości:
\(\displaystyle{ Q \cdot dt=A _{z} \cdot dz}\) , (3)
/ Jeżeli zwierciadło cieczy znajduje się na wysokości z, to po czasie dt, z naczynia wypływa objętość \(\displaystyle{ Q \cdot dt}\) cieczy i będzie ona równa objętości warstewki cieczy \(\displaystyle{ A _{z} \cdot dz}\) /
Przekształcamy równanie (3);
\(\displaystyle{ \mu \cdot A _{w} \cdot \sqrt{2g \cdot z} \cdot dt=A _{z} \cdot dz}\)

Stąd \(\displaystyle{ dt}\):
\(\displaystyle{ dt= \frac{A _{z} \cdot dz}{\mu \cdot A _{w} \cdot \sqrt{2g \cdot z}}}\) \(\displaystyle{ }\) lub w postaci \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ dt=\frac{A _{z} \cdot dz}{\mu \cdot A _{w} \cdot \sqrt{2g }} \cdot z ^{- \frac{1}{2} }}\)
Czas t obl. jako całka :
\(\displaystyle{ t=\int\limits_{0}^{t}dt=\int\limits_{0}^{H}\frac{A _{z} }{\mu \cdot A _{w} \cdot \sqrt{2g }} \cdot z ^{- \frac{1}{2} }dz=\frac{A _{z} }{\mu \cdot A _{w} \cdot \sqrt{2g }}\int\limits_{0}^{H}z ^{- \frac{1}{2} } \cdot dz}\)
Po obliczeniu czas \(\displaystyle{ t}\) opróżnienia zbiornika jest równy:
\(\displaystyle{ t= \frac{2 \cdot A _{z} \cdot \sqrt{H} }{\mu \cdot A _{w} \cdot \sqrt{2g} }}\) [s], (4)

Wobec stałości przekrojów, przyjmujemy w równaniu (4) pole przekroju zbiornika \(\displaystyle{ A _{z}}\) i pole wypływu z otworu \(\displaystyle{ A _{w}}\):
\(\displaystyle{ A _{z}=A = \frac{ \pi D ^{2} }{4}}\) \(\displaystyle{ [m ^{2}]}\)
\(\displaystyle{ A _{w} = \frac{ \pi d ^{2} }{4}}\) \(\displaystyle{ [m ^{2}]}\)
..................................................