Matematyka.pl

\(\displaystyle{ z^3=(-2+2 \sqrt{3}i)\overline{z}}\)
Mam takie zadanie i nie za bardzo chce mi to wyjść. Bardzo proszę o pomoc.

Dość wygodna byłaby zamiana na postać trygonometryczną. Po drodze przyda się wzór de Moivre'a.

-- 10 lut 2016, o 21:53 --

Można najpierw pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ z}\) i wykorzystać tożsamość \(\displaystyle{ z\overline z=\left| z\right|^{2}}\).

Zrobiłem tak i przy liczeniu \(\displaystyle{ cos}\) i \(\displaystyle{ sin}\) wyszly dziwne pierwiastki. Teraz nie wiem czy się gdzies pomylilem, czy tego nie da sie rozwiązać za pomocą postaci trygonometrycznej.

nie da sie

To jest moje ulubione zdanie, kiedy długo próbuję udowodnić jakieś twierdzenie, ale to tak nie działa. Podobnie tutaj się da. Skorzystałem ze wspomnianej tożsamości i wzoru de Moivre'a:

-- 10 lut 2016, o 22:18 --

Aha, w zasadzie to nie powinno się mnożyć przez \(\displaystyle{ z}\), dopóki nie rozważyliśmy \(\displaystyle{ z=0}\), bo tak, to można by "pokazać", że wszystkie liczby są równe, ale tutaj odbyło się to bez komplikacji.