Objętość bryły na całkach

[Mr Max]

Mam takie zadanko i z tego co się domyślam to chyba to jakoś na całkach trzeba policzyć:

Obliczyć objętość bryły \(\displaystyle{ V}\) ograniczonej przez stożek \(\displaystyle{ z=3-\sqrt{x^2+y^2}}\) , walec \(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\) oraz płaszczyznę \(\displaystyle{ z=0}\)

Mógłby ktoś pomóc to rozwiązać?

[joannna]

najlepiej jakby ktos mnie sprawdził ale mysle ze mozna zrobic tak i zapisac to całką
\(\displaystyle{ \int_{2}^{3}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}rdrdzd\varphi}\)
co o tym myślisz

[ Dodano: 22 Sierpnia 2007, 13:51 ]
i wyjdzie po obliczeniach 3pi ale czy komus tez tak wyszło bo mi sie zdaje ze dobrze

[Mr Max]

ja w ogóle się w tym zadaniu nie orientuje, co sie z czego bralo, skąd te przedzialy, umie to ktos policzyc ?

[luka52]

Całka powinna wyglądać:
\(\displaystyle{ \int\limits_0^{2 \pi} \, \mbox{d} \theta \int\limits_0^2 \rho \, \mbox{d}\rho \int\limits_0^{3 - |\rho|} \, \mbox{d}z}\)
Jest to już całka po zamianie współrzędnych na współrzędne walcowe (cylindryczne).
Pierwsze dwie całki pochodzą z tego, że rzutem na płaszczyzną OXY danej bryły jest koło o promieniu 2 i środku w (0,0). Ostatnia natomiast pochodzi z zakresu zmiany z - od 0 do powierzchni stożka.

Wynik to \(\displaystyle{ \frac{20 \pi}{3}}\).

[Nty]

Całka powinna wyglądać:
\(\displaystyle{ \int\limits_0^{3 - |\rho|}}\)

Taka mała uwaga, promień \(\displaystyle{ \rho}\) jest zawsze dodatni ( \(\displaystyle{ \rho (0,\infty)}\) ), więc moduł jest zbędny. To taka drobna korekta, która co prawda niczego nie zmieni, ale dla autora tematu może być cenna.