Sinus pod pierwiastkiem

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Sinus pod pierwiastkiem

Post autor: Kaktusiewicz » 22 sie 2007, o 13:07

Witam!
Być może jest to już oznaka wypalenia, ale nie jestem w stanie rozwiązać tego prostego zadania:
Znaleźć pole tej części powierzchni \(\displaystyle{ x^2+y^2=2z}\), która jest zawarta wewnątrz walca \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2=2xy}\)

Z równania walca otrzymujemy warunek na r: \(\displaystyle{ r=\sqrt{sin2\varphi}}\).
Obliczam taką całkę: \(\displaystyle{ |D|=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int\limits_{0}^{\sqrt{sin2\varphi}}\sqrt{1+r^2}rdr=\frac{2}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[(1+sin2\varphi)^\frac{3}{2} -1\right]d\varphi=...}\) (w tym miejscu się zacinam)
Proszę o rady.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Sinus pod pierwiastkiem

Post autor: luka52 » 22 sie 2007, o 14:10

Myślę, że podstawienie \(\displaystyle{ t = \tan \varphi}\) powinno pomóc.

BTW. Jakoś nie wydaje mi się, aby w treści był walec

Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Sinus pod pierwiastkiem

Post autor: Kaktusiewicz » 22 sie 2007, o 17:55

Witam!
Próbowałem podstawienia \(\displaystyle{ \tan\frac{\varphi}{2}=t}\), ale i tak wpędza nas to w "kosmiczne" obliczenia (pierwiastki z wysokich potęg).
Zadanie pochodzi ze zbioru Krysickiego i Włodarskiego.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Sinus pod pierwiastkiem

Post autor: luka52 » 22 sie 2007, o 18:07

Chciałbym zauważyć, że jest duża różnica jeśli chodzi o podstawianie \(\displaystyle{ t = \tan \frac{\varphi}{2}}\) i \(\displaystyle{ t = \tan \varphi}\).

ODPOWIEDZ