Całka oznaczona i wzór rekurencyjny

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
koqwax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 sie 2007, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 12 razy

Całka oznaczona i wzór rekurencyjny

Post autor: koqwax » 22 sie 2007, o 11:22

Istotą problemu jest obliczenie całki :

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx}\)

i tym podobnych za pomocą wzoru rekurencyjnego:

\(\displaystyle{ J_{n}=\int\ x^{n}e^{x}dx}\)

\(\displaystyle{ J_{n}=x^{n}e^{x}-nJ_{n-1}}\)

\(\displaystyle{ n=1,2,3,...;}\)

Wiem że należy sie posłużyć wzorem podanym powyżej, ale nie wiem jak.

Podana całka

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx=256e-720}\)

Jak się domyslam człon \(\displaystyle{ -720=-n!}\) ale nie wiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ 256e=?}\)

Byłbym wdzięczny wyjaśnienie problem lub podanie wzoru na obliczanie całek

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{n}e^{x}dx}\)

W książce znalazłem taki wzór dla

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi/2} sin^{n}{x}dx}\)

który to się równał :

\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-3)*...*3*1}{n(n-2)*...*4*2} *\frac{\pi}{2}}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste

\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-3)*...*4*2}{n(n-2)*...*5*3} *1}\)gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste

i wynikał ze wzoru rekurencyjnego

\(\displaystyle{ \int\ sin^{n}{x}dx= \frac{-1}{n}cos{x}sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}\int\ sin^{n-2}{x}dx}\)

czyli \(\displaystyle{ J_{n}=\int\ sin^{n}{x}dx}\)

\(\displaystyle{ J_{n}=\frac{-1}{n}cos{x}sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}J_{n-2}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Całka oznaczona i wzór rekurencyjny

Post autor: scyth » 22 sie 2007, o 16:51

koqwax pisze:Istotą problemu jest obliczenie całki :

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} x^{6}e^{x}dx}\)

i tym podobnych za pomocą wzoru rekurencyjnego:

\(\displaystyle{ J_{n}=\int\ x^{n}e^{x}dx}\)

\(\displaystyle{ J_{n}=x^{n}e^{x}-nJ_{n-1}}\)

\(\displaystyle{ n=1,2,3,...;}\)

Wiem że należy sie posłużyć wzorem podanym powyżej, ale nie wiem jak.
Szukasz \(\displaystyle{ J_6}\). No to jedziemy:
\(\displaystyle{ J_0=\int\limits_{0}^{1} e^{x}dx = ft[ e^x \right]_0^1=e-1}\)
\(\displaystyle{ J_1= ft[ xe^x \right]_0^1 - 1\cdot J_0=e-(e-1)=1}\)
\(\displaystyle{ J_2= ft[ x^2e^x \right]_0^1 - 2\cdot J_1=e-2}\)
\(\displaystyle{ J_3= ft[ x^3e^x \right]_0^1 - 3\cdot J_2=e-3(e-2)=6-2e}\)
\(\displaystyle{ J_4= ft[ x^4e^x \right]_0^1 - 4\cdot J_3=e-4(6-2e)=9e-24}\)
\(\displaystyle{ J_5= ft[ x^5e^x \right]_0^1 - 5\cdot J_4=e-5(9e-24)=120-44e}\)
\(\displaystyle{ J_6= ft[ x^6e^x \right]_0^1 - 6\cdot J_5=e-6(120-44e)=265e-720}\)

koqwax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 sie 2007, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 12 razy

Całka oznaczona i wzór rekurencyjny

Post autor: koqwax » 22 sie 2007, o 19:06

Teraz już wiem jak to działa, dzięki. No i jeszcze czeski błąd w odpowiedzi książkowej się zakradł. Było napisane \(\displaystyle{ 256e}\) zamiast \(\displaystyle{ 265e}\) Ciężko dzisiaj o dobry podręcznik ??:

ODPOWIEDZ