Stałe i zmienne granice całkowania

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Stałe i zmienne granice całkowania

Post autor: Kaktusiewicz » 22 sie 2007, o 10:42

Witam!
Od kiedy zacząłem zajmować się całkami wielokrotnymi zawsze nachodzą mnie wątpliwości, czy dany parametr ma być wyznaczony w sposób stały, czy zależny od innych (np. od kąta).
Mamy na przykład takie zadanie:
Obliczyć \(\displaystyle{ \iiint_V\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz}\); V - ograniczony powierzchniami:
1. \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=z}\)
2. \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=2z}\)
3. \(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2}\)
\(\displaystyle{ (0,0,\frac{3}{2})\in V}\)


Przekształcając otrzymujemy:
1. \(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}}\)
2. \(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-1)^2=1}\)
Powierzchnia stożka przecina mała kulę w punkcie \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}}\), a dużą \(\displaystyle{ z=1}\)
Podzieliłem całość na dwa obszary:
\(\displaystyle{ V_{1}=\left((\varphi,\theta,r): \varphi [0,2\pi}[, \theta [\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}], r [sin\varphi,2sin\varphi] \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2-4y^2}\leqslant z qslant1+\sqrt{1-x^2-y^2}}\)
i \(\displaystyle{ V_{2}=\left((\varphi,\theta,r): \varphi [0,2\pi}[, \theta [\frac{\pi}{4},\arctan{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}], r [sin\varphi,2sin\varphi] \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}\leqslant z qslant1+\sqrt{1-x^2-y^2}}\)
Sinusy w r nie wyszły z żadnego konkretnego przekształcenia, ale nadają się idealnie do opisywania obszaru.
Ta dziwna wartość w arctangesie pochodzi z punktu znadującego się nad miejscem przeciecięcia małej sfery ze stożkiem. Podstawiłem ją do \(\displaystyle{ z(x,y)=1+\sqrt{1-x^2-y^2}}\): \(\displaystyle{ z(0,\frac{1}{2})=1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Dalej otrzymujemy (nie zapominając o dołożeniu jakobianów) wzór na objętość złożoną z dwóch całek (tylko trudnych do policzenia).
Moje pytanie: czy zawsze muszę uzależniać wartość (np. r) od poprzednich zmiennych (zrobiłem to wykorzystując funkcje sinus), czy mogę je zawsze wyznaczyć w sposób stały, jeśli znam punkty maksymalnego i minimalnego wychylenia.

Jeśli mielibyśmy obszar ograniczony w ten sposób:
1. \(\displaystyle{ x^2+^y^2+z^2\geqslant3}\),
2. \(\displaystyle{ x^2+^y^2+z^2\leqslant9}\),
3. \(\displaystyle{ z\geqslant0}\),
to \(\displaystyle{ r\in[2,3]}\) (skacze od razu od 2 i później znajduje się na wysokości 3.
Ale tutaj:
1. \(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\)
\(\displaystyle{ r\in[0,2cos{\varphi}]}\) r zależy od \(\displaystyle{ \varphi}\). (0 (min) podaje się też zawsze oddzielnie) Dlaczego?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Stałe i zmienne granice całkowania

Post autor: luka52 » 22 sie 2007, o 14:19

Kaktusiewicz pisze:Od kiedy zacząłem zajmować się całkami wielokrotnymi zawsze nachodzą mnie wątpliwości, czy dany parametr ma być wyznaczony w sposób stały, czy zależny od innych (np. od kąta).
Nie bardzo rozumiem w czym problem. To w jakim zakresie zmienia się zmienna zależy od obszaru.
Np. w układzie współrzednych biegunowych, gdy obszarem jest koło o promieniu R, to promień zmienia się 0

Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Stałe i zmienne granice całkowania

Post autor: Kaktusiewicz » 22 sie 2007, o 17:42

Witam!
Ale na przykład, jeśli mamy opisać obszar będący wycinkiem koła, to na jego brzegach (np. y=x) r zmienia się według innej zasady niż będąc w środku tego obszaru - tam jest stale równe promieniowi okręgu (R). Taki właśnie obszar opisywany jest również w sposób \(\displaystyle{ r [0,R]}\), chociaż występują miejsca, gdzie r zmienia się według innych zasad i zależy od innych "parametrów".

ODPOWIEDZ