Matematyka.pl

Witam, chciałbym sprawdzić, czy robię to zadanie poprawnie.

1. Monotoniczność i ekstrema funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{e^{x} }{1-x}

D_{f}=\RR-1


\left {f(x)}'= 0 \right \Leftrightarrow (\frac{e^{x} }{1-x})'=0

D_{f'}= D_{f}

\left \frac{e^x(2-x)}{(1-x)^2} =0 \right \Leftrightarrow e^x(2-x)=0 \Leftrightarrow e^x=0 \vee 2-x=0 \Leftrightarrow x=2

\left {f(x)}'>0 \Leftrightarrow (\frac{e^{x} }{1-x})'>0}\)
pomnozenie przez \(\displaystyle{ (1-x)^2}\) nie zmieni znaku, gdyz to wyrazenie jest zawsze dodatnie
\(\displaystyle{ \frac{e^x(2-x)}{(1-x)^2}>0 \Leftrightarrow e^x(2-x)>0 \Leftrightarrow x<2

\left {f(x)}'<0 \Leftrightarrow x>2}\)

Zatem f(x) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ (- \infty,1)}\) oraz w \(\displaystyle{ (1,2)}\)
malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (2, +\infty)}\)
Posiada maksimum lokalne dla \(\displaystyle{ x=2}\)

Dobrze

\(\displaystyle{ D_{f}=\RR-1}\)

Od zbioru nie można odjąć liczby.

Ok, dziękuje za sprawdzenie.

Kacperdev pisze:

\(\displaystyle{ D_{f}=\RR-1}\)

Od zbioru nie można odjąć liczby.

Czyli, że taki zapis jest poprawny?
\(\displaystyle{ D_{f}= \RR \setminus \lbrace 1 \rbrace}\)

fenomenalnie pisze:\(\displaystyle{ D_{f}= \RR \setminus \lbrace 1 \rbrace}\)

Tak.

JK