[Teoria liczb] Diofantyczne równanie wykładnicze

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Teoria liczb] Diofantyczne równanie wykładnicze

Post autor: Piotr Rutkowski » 21 sie 2007, o 22:58

Niech \(\displaystyle{ x,y N}\). Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ 1^{x}+2^{x}+3^{x}+4^{x}+5^{x}=15^{y}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Teoria liczb] Diofantyczne równanie wykładnicze

Post autor: Rogal » 22 sie 2007, o 13:35

Po przelotnym spojrzeniu wychodzi, że x=1, y=1 lub x=3, y=2, a czemu ich więcej nie ma, to jeszcze nie wiem ;)

[ Dodano: 22 Sierpnia 2007, 14:02 ]
Mhm, chyba mam. Z badania podzielności lewej strony przez 3, wynika natychmiastowo, że x musi być nieparzysty. Stąd mamy dwie pary rozwiązań wypisane wyżej. Przyjąć możemy więc sobie spokojnie, że x>3 i y>2.
Badając teraz podzielność przez 9 (gdyż już prawa strona się przez nią dzieli), widzimy, że \(\displaystyle{ 3^{x} + 4^{x} + 5^{x}}\) zawsze się przez 9 podzieli dla x>3, więc pozostaje nam tylko sprawdzić podzielność \(\displaystyle{ 1 + 2^{x}}\).
To się dzieli przez 9, gdy x = 6k+3, k e N i tu... się mi dowód popsuł

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Teoria liczb] Diofantyczne równanie wykładnicze

Post autor: Piotr Rutkowski » 22 sie 2007, o 15:21

Mała podpowiedź, spróbuj porównać obie strony przy podzielności przez 8.

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Teoria liczb] Diofantyczne równanie wykładnicze

Post autor: Rogal » 22 sie 2007, o 16:35

Z tego potrafiłem tylko wywnioskować, że y musi być parzyste

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Teoria liczb] Diofantyczne równanie wykładnicze

Post autor: Piotr Rutkowski » 22 sie 2007, o 16:56

Podstaw za x \(\displaystyle{ 2t+1}\) i \(\displaystyle{ y=2z}\)
masz:
\(\displaystyle{ 1+2*4^{t}+3*9^{t}+4*16^{t}+5*25^{t} \equiv 225^{z} \equiv 1}\)
z tego Ci wyjdzie, że \(\displaystyle{ 16|3^{2t+1}+5^{2t+1}}\) tu spróbuj dojść do sprzeczności

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Teoria liczb] Diofantyczne równanie wykładnicze

Post autor: Rogal » 22 sie 2007, o 19:48

Ech, dzięki. Jednak trzeba zapisywać zadania takie na kartce
Ale trzeba przyznać, że zupełnie milutkie

ODPOWIEDZ