Konkurs "Matematyka bez granic"

[xw3n]

Czesc,
na konkursie(1 liceum) spotkałem sie z takim o to zadaniem:
Liczbę 22 mozna przedstawić na wiele sposób jako sumę liczb naturalnych całkowitych. Dla każdej sumy obliczamy iloczyn jej skladnikow
22=7+1+2+12 co daje 7x1x2x12=168
Przedstaw liczbę 22 za pomocą takich skladnikow, ktorych iloczyn bedzie największy.
Czy ktos mógłby mnie nakierować na rozwiazanie? Robiłem to metoda podstawiania, czyli próbowałem cyfr jak leci i najwyższy wynik jaki mi wyszedł to 2916.
22=3x3x3x3x3x3x4=2916
Prosze o pomoc:>

[Kartezjusz]

Znasz średnie? I nierówności między nimi?

[xw3n]

Nie, ale jestem ciekawy po prostu rozwiązania. Czyli rozumiem, ze rozwiazanie tylko za pomocą średnich?

[Kartezjusz]

Ja osobiście takie znam. Jest nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną. Że pierwsza jest nie większa od drugiej (poczytaj o tym, bo nie raz Ci tyłek uratuje). Są równością gdy wszystkie komponenty do średniej są sobie równe czyli twoja liczba została podzielona na równe części.

[bakala12]

Kartezjusz, no nawet z tymi średnimi wygląda, że to średnio wychodzi. Mi nie wychodzi wcale Mógłbyś pokazać rozwiązanie? Problemem jest, nie wiem czy zauważyłeś, że tu jest podział na liczby całkowite i średnie absolutnie nic nie powiedzą.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ 22=x_1+x_2...+x_n}\)dzielę przez n
\(\displaystyle{ frac{22}{n}= frac{x_1+x_2...+x_n}{n} ge \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot .... \cdot x_n}}\) }\)
Iloczyn jest największy, gdy ta nierówność staje się równością (iloczyn spierwiastkowany jest największy) , a tak się dzieje gdy wszystkie czynniki są równe. Teraz wiedząc to sam poradzisz sobie.

[bakala12]

Wyedytowałem post. Nic nie udowodniłeś, bo podział ma być na składniki które są liczbami całkowitymi!

[Kartezjusz]

To co powiedziałeś sprawia, że \(\displaystyle{ n=2,11,22,1}\) dla\(\displaystyle{ n=11}\)czynniki wynoszą po dwa. Iloczyn\(\displaystyle{ 2^{11} /tex]}\)

[bakala12]

Niestety. Zauważ, że \(\displaystyle{ 2^{11}=2048<2916}\) czyli rozkład podany w pierwszym poście jest lepszy niż Twój

Proponuję uogólnienie problemu:
Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) znaleźć taki podział na \(\displaystyle{ k}\) składników \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}}\) będących liczbami całkowitymi dla których iloczyn \(\displaystyle{ a_{1}a_{2}\dots a_{k}}\) jest największy możliwy.

Zadanie nie jest takie trywialne. Póki co można w dość przystępny sposób udowodnić, że dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\) maksimum jest realizowane przez układ:
\(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=\dots=a_{k-r} =\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor \\
a_{k-r+1} = \dots = a_{k} = \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil}\)
gdzie \(\displaystyle{ r = n \ mod \ k}\)
Pozostaje znaleźć optymalne \(\displaystyle{ k}\) za co się za chwilę wezmę

Edit:
Próby rozwiązania zadania w ogólności doprowadziły mnie do fiaska, ale napisałem prosty program znajdujący szukane \(\displaystyle{ k}\) i maksimum. I dla \(\displaystyle{ n=22}\), czyli dla naszego problemu odpowiedzią (maksymalną wartością podziału) jest istotnie \(\displaystyle{ 2916}\).

[bosa_Nike]

Problem ma rozwiązanie - można poszukać po Integer partitions with maximum product.