Konkurs "Matematyka bez granic"

Kangur, Alfik, Mistrzostwa w Grach Logicznych, Sejmik, Konkurs PW... Słowem - konkursy ogólnopolskie, ale nie OM.
xw3n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 lut 2016, o 19:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pl

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: xw3n » 8 lut 2016, o 19:19

Czesc,
na konkursie(1 liceum) spotkałem sie z takim o to zadaniem:
Liczbę 22 mozna przedstawić na wiele sposób jako sumę liczb naturalnych całkowitych. Dla każdej sumy obliczamy iloczyn jej skladnikow
22=7+1+2+12 co daje 7x1x2x12=168
Przedstaw liczbę 22 za pomocą takich skladnikow, ktorych iloczyn bedzie największy.
Czy ktos mógłby mnie nakierować na rozwiazanie? Robiłem to metoda podstawiania, czyli próbowałem cyfr jak leci i najwyższy wynik jaki mi wyszedł to 2916.
22=3x3x3x3x3x3x4=2916
Prosze o pomoc:>

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: Kartezjusz » 8 lut 2016, o 19:22

Znasz średnie? I nierówności między nimi?

xw3n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 lut 2016, o 19:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pl

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: xw3n » 8 lut 2016, o 19:26

Nie, ale jestem ciekawy po prostu rozwiązania. Czyli rozumiem, ze rozwiazanie tylko za pomocą średnich?

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: Kartezjusz » 8 lut 2016, o 19:32

Ja osobiście takie znam. Jest nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną. Że pierwsza jest nie większa od drugiej (poczytaj o tym, bo nie raz Ci tyłek uratuje). Są równością gdy wszystkie komponenty do średniej są sobie równe czyli twoja liczba została podzielona na równe części.

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: bakala12 » 11 lut 2016, o 01:04

Kartezjusz, no nawet z tymi średnimi wygląda, że to średnio wychodzi. Mi nie wychodzi wcale Mógłbyś pokazać rozwiązanie? Problemem jest, nie wiem czy zauważyłeś, że tu jest podział na liczby całkowite i średnie absolutnie nic nie powiedzą.
Ostatnio zmieniony 11 lut 2016, o 01:23 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: Kartezjusz » 11 lut 2016, o 01:13

\(22=x_1+x_2...+x_n\)dzielę przez n
\(frac{22}{n}= frac{x_1+x_2...+x_n}{n} ge \( \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot .... \cdot x_n}\) \)
Iloczyn jest największy, gdy ta nierówność staje się równością (iloczyn spierwiastkowany jest największy) , a tak się dzieje gdy wszystkie czynniki są równe. Teraz wiedząc to sam poradzisz sobie.

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: bakala12 » 11 lut 2016, o 01:24

Wyedytowałem post. Nic nie udowodniłeś, bo podział ma być na składniki które są liczbami całkowitymi!

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: Kartezjusz » 11 lut 2016, o 01:28

To co powiedziałeś sprawia, że \(n=2,11,22,1\) dla\(n=11\)czynniki wynoszą po dwa. Iloczyn\(2^{11} /tex]\)

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: bakala12 » 11 lut 2016, o 01:41

Niestety. Zauważ, że \(2^{11}=2048<2916\) czyli rozkład podany w pierwszym poście jest lepszy niż Twój

Proponuję uogólnienie problemu:
Dla liczby naturalnej \(n\) znaleźć taki podział na \(k\) składników \(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}\) będących liczbami całkowitymi dla których iloczyn \(a_{1}a_{2}\dots a_{k}\) jest największy możliwy.

Zadanie nie jest takie trywialne. Póki co można w dość przystępny sposób udowodnić, że dla ustalonego \(k\) maksimum jest realizowane przez układ:
\(a_{1}=a_{2}=\dots=a_{k-r} =\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor \\ a_{k-r+1} = \dots = a_{k} = \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil\)
gdzie \(r = n \ mod \ k\)
Pozostaje znaleźć optymalne \(k\) za co się za chwilę wezmę

Edit:
Próby rozwiązania zadania w ogólności doprowadziły mnie do fiaska, ale napisałem prosty program znajdujący szukane \(k\) i maksimum. I dla \(n=22\), czyli dla naszego problemu odpowiedzią (maksymalną wartością podziału) jest istotnie \(2916\).

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1431
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta

Konkurs "Matematyka bez granic"

Post autor: bosa_Nike » 11 lut 2016, o 15:43

Problem ma rozwiązanie - można poszukać po Integer partitions with maximum product.

ODPOWIEDZ