[Nierówności] Nierówność sum potęg

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Nierówności] Nierówność sum potęg

Post autor: Piotr Rutkowski » 21 sie 2007, o 22:53

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,k,l,m R_{+}}\). Wykazać, że:
\(\displaystyle{ a^{k+l+m}+b^{k+l+m}+c^{k+l+m} q a^{k}b^{l}c^{m}+a^{l}b^{m}c^{k}+a^{m}b^{m}c^{l}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

[Nierówności] Nierówność sum potęg

Post autor: bullay » 21 sie 2007, o 23:32

podpowiedz:
ciagi jednomonotoniczne.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Nierówności] Nierówność sum potęg

Post autor: Piotr Rutkowski » 22 sie 2007, o 13:38

Ehem, ja rozwiązałem to zadanie. W tym dziale daję po prostu zadania, które mogą dać jakieś zajęcie na forum, więc napisz już pełne rozwiązanie jeśli możesz

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

[Nierówności] Nierówność sum potęg

Post autor: bullay » 22 sie 2007, o 14:30

Bez straty ogolnosci mozemy zalozyc, ze:
\(\displaystyle{ a\geq b\geq c}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a^k&b^k&c^k\\a^l&b^l&c^l\\a^m&b^m&c^m\end{array}\right] q ft[\begin{array}{ccc}a^k&c^k&b^k\\b^l&a^l&c^l\\c^m&b^m&a^m\end{array}\right]}\)
Z lewej strony mamy ciagi jednomonotoniczne, a z prawej nie. Czyli:
\(\displaystyle{ a^{k+l+m}+b^{k+l+m}+c^{k+l+m} q a^{k}b^{l}c^{m}+a^{l}b^{m}c^{k}+a^{m}b^{m}c^{l}}\)

ODPOWIEDZ