Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A _{n}=\left\{ (x,y) \in \RR | x \in [0,1] , y=x ^{n} \right\}}\) dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnych. oraz \(\displaystyle{ A= \bigcup_{n=1}^{ \infty }A _{n}}\)

Musze sprawdzić czy \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem otwartym czy domkniętym, ale nie wiem do końca jak ten zbiór wygląda

Przychodzi mi do głowy, że \(\displaystyle{ A=[0,1] \times [0,1]}\) albo po prostu \(\displaystyle{ A=[0,1]}\) , któraś z tych opcji jest słuszna?

natalkagd pisze:Niech \(\displaystyle{ A _{n}=\left\{ (x,y) \in \RR | x \in [0,1] , y=x ^{n} \right\}}\) dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnych.

Po pierwsze, zapewne chodzi Ci o \(\displaystyle{ A _{n}=\left\{ (x,y) \in \RR^{\red{2}} | x \in [0,1] , y=x ^{n} \right\}}\), bo obecny zapis tego zbioru nie ma sensu.

natalkagd pisze:Przychodzi mi do głowy, że \(\displaystyle{ A=[0,1] \times [0,1]}\) albo po prostu \(\displaystyle{ A=[0,1]}\) , któraś z tych opcji jest słuszna?

Druga opcja nie ma sensu, bo sumujesz podzbiory płaszczyzny, więc nijak nie możesz dostać podzbioru prostej jako wyniku. Pierwsza opcja też jest błędna.

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest sumą przeliczalnie wielu wykresów funkcji potęgowej dla argumentów z \(\displaystyle{ [0,1]}\). Narysuj na wspólnym wykresie \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3}\), to powinnaś zobaczyć, o co chodzi.