Matematyka.pl

Mam proste doświadczenie, polegające na dwukrotnym rzucie kostką. \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę uzyskanych jedynek, a \(\displaystyle{ Y}\) liczbę uzyskanych dwójek. Próbuję narysować tabelkę rozkładu.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c}
\hline
XY & 0 & 1 & 2 \\ \hline
0 & . & . & . \\ \hline
1 & . & . & .\\ \hline
2 & . & . & . \\ \hline
\end{tabular}}\)

Mam problem z wyliczeniem tych prawdopodobieństw. Np.

\(\displaystyle{ p_{11}=P(X=1, Y=1)}\) Czyli interesuje mnie p-stwo, że przy dwóch rzutach kostką, ilość wyrzuconych jedynek będzie równa \(\displaystyle{ 1}\) i ilość wyrzuconych dwójek również będzie wynosiła \(\displaystyle{ 1}\).

Istnieją wg mnie dwie takie możliwości, w której będę miał jedną jedynkę i jedną dwójkę jako wynik.
a) Jedynka za pierwszym rzutem, dwójka przy drugim rzucie
b) Dwójka za pierwszym razem, jedynka za drugim razem.

Ale jak policzyć to prawdopodobieństwo to nie wiem.

Bardzo prosto, wszystkich możliwości masz 36. Zatem każda mozliwość to 1/36.

Czyli uważasz, że \(\displaystyle{ p_{11}=1/36}\)

Chyba nie...

Możesz przedstawić swój tok rozumowania?

chrumek pisze:Czyli uważasz, że \(\displaystyle{ p_{11}=1/36}\)

Chyba nie...

Możesz przedstawić swój tok rozumowania?

Nie, nie uważam tak. Tak jak napisałeś \(\displaystyle{ p_{11}}\) to 2/36, sam napisałes o dwóch możliwościach.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c} \hline XY & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 16/36 & 5/36 & 1/36 \\ \hline 1 & 5/36 & 2/36 & 0\\ \hline 2 & 1/36 & 0 & 0 \\ \hline \end{tabular}}\)

Coś mi się brzegi do 1 nie sumują. Możesz sprawdzić, które prawdopodobieństwo źle policzyłem?

A to \(\displaystyle{ \frac{5}{36}}\) to skąd?

JK

Ok. Szukam \(\displaystyle{ P(X=1,Y=0)}\) Wypada dokładnie jedna jedynka i dwójka nie wypada wcale.

Zdarzeń sprzyjających temu, że wynikiem losowania będzie dokładnie jedna jedynka jest łącznie \(\displaystyle{ 11}\). Wynik \(\displaystyle{ 1-1}\) licze jako jedną możliwość, nie wiem czy prawidłowo. Tj.

* W pierwszym rzucie losuję 1, a w drugim cokolwiek.
* W pierwszym rzucie wypada cokolwiek, ale w drugim dostaję 1

Z powyższych usuwam te w których:

* występuje dwójka w pierwszym, albo w drugim rzucie. Aby uczynić zadość drugiemu warunkowi, czyli braku dwójki. Ostatecznie usuwam dwa wyniki.
* losowanie w którym wypada jedynka za pierwszym razem i jedynka za drugim razem. Usuwam jeden wynik.

Łącznie \(\displaystyle{ 11-3 = 8}\). Zamiast \(\displaystyle{ 5/36}\), winno być \(\displaystyle{ 8/36}\).

I teraz wszystko się zgadza.

JK