trapez równoramienny

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
NuLLsKiLL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 16 sie 2007, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nicość
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

trapez równoramienny

Post autor: NuLLsKiLL » 21 sie 2007, o 13:37

W trapez równoramienny, którego obwód wynosi \(\displaystyle{ 16}\), a długość przekątnej \(\displaystyle{ 5}\), wpisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu, długość promienia opisanego na tym trapezie oraz pole tego trapezu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

trapez równoramienny

Post autor: Grzegorz t » 22 sie 2007, o 10:44

Skorzystaj z tego, że jeśli w trapez jest wpisany okrąg to suma długości podstaw jest równa sumie długości jego ramion.
wprowadzamy oznaczenia:
\(\displaystyle{ a}\)- dłuższa podstawa trapezu,
\(\displaystyle{ b}\)- krótsza podstawa trapezu,
\(\displaystyle{ c}\)- ramię trapezu.
Z zadania mamy \(\displaystyle{ a+b=8}\) i \(\displaystyle{ c=4}\) po zrobieniu rysunku zauważysz, że \(\displaystyle{ 16-(x-4)^2=25-4^2}\), a stąd
\(\displaystyle{ (x-4)^2=7}\) i pole trapezu \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{16-(x-4)^2}=12}\)
Dalej już prosto i promień okręgu wpisanego \(\displaystyle{ r=\frac{P}{p}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) - połowa obwodu trapezu, stąd \(\displaystyle{ r=\frac{3}{2}}\)promień kręgu opisanego można np. wyliczyć tak:
\(\displaystyle{ \frac{5}{\sin\alpha}=2R}\) z twierdzenia sinusów i \(\displaystyle{ \sin\alpha =\frac{h}{c}=\frac{3}{4}}\) i promień okręgu po podstawieniu wyniesie \(\displaystyle{ R=\frac{10}{3}}\)
pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 23 sie 2007, o 10:44 przez Grzegorz t, łącznie zmieniany 1 raz.

NuLLsKiLL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 16 sie 2007, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nicość
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

trapez równoramienny

Post autor: NuLLsKiLL » 22 sie 2007, o 12:08

Nie rozumiem zapisu: \(\displaystyle{ 16-(x-4)^{2}=25-4^{2}}\).
\(\displaystyle{ x=\frac{a-b}{2}??}\) bo nie rozumiem

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

trapez równoramienny

Post autor: Justka » 22 sie 2007, o 14:07

x- to odległość miedzy punktem przecięcia wysokości z postawą a wierzchołkiem podstawy.

Po poprowadzeniu dwóch wysokości łatwo zauważyć, że podstawa została podzielona na 3 części.: \(\displaystyle{ a=2x+b}\) gdzie "b" to górna, a "a" dolna podstawa.
Wiemy, że\(\displaystyle{ a+b=8}\), a więc: \(\displaystyle{ 2x+b+b=8 x+b=4}\)
Wyznaczając "x" mamy:\(\displaystyle{ x=4-b}\)

Teraz możemy podstawic do równania:
\(\displaystyle{ 4^2-x^2=h^2\\
5^2-(b+x)^2=h^2\\
4^2-x^2=5^2-(b+x)^2\\
b=2\sqrt{7}}\)

I z tego mamy też \(\displaystyle{ h=3}\)
Wystarczy podstawic do wzoru\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(a+b)h}\)

I dalej tak jak napisał Grzegorz t
POzdrawiam

ODPOWIEDZ