Matematyka.pl

Prosze o pomoc. Nie mam pojęcia jak pokazać zbieżność szeregów o wyrazach ogólnych:

\(\displaystyle{ 1. (-1)^{n} (e^ \frac{1}{n} -1) \\[1ex]
2. \frac{\ln n}{n^{\frac{5}{4}}}}\).

1. Zbieżny. \(\displaystyle{ e^{\frac 1 n}}\) zbiega do jedynki, więc po odjęciu \(\displaystyle{ 1}\) - do zera. Ponadto jest malejący (łatwo wykazać albo powołać się na monotoniczność \(\displaystyle{ \exp(x)}\)). Zastosuj kryterium Leibniza.
2. Zbieżny. Wyrazy zbiegają do zera, od pewnego miejsca zresztą monotonicznie, więc możesz zastosować kryterium kondensacyjne.

2.

Możesz też udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{ n^{ \frac{5}{4} } } < \frac{ n^{ \frac{1}{5} } }{ n^{ \frac{5}{4} } } = \frac{1}{ n^{ \frac{21}{20} } }}\)
co zachodzi dla odpowiednio dużego n. Można to udowodnić np. szukają ekstremum funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \ln x - x^{ \frac{1}{5} }}\).

Dalej standardowo z kryterium porównawczego.