Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Mr Max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 21 sie 2007, o 12:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: Mr Max » 21 sie 2007, o 12:19

Mam takie zadanko, proszę o pomoc jak to wyliczyć dokładnie:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{3^n^+^1}}\)

Bardzo proszę o pomoc, z góry dzięki


Temat poprawiłam, radzę czytać ogłoszenia.

ariadna
Ostatnio zmieniony 21 sie 2007, o 13:02 przez Mr Max, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: scyth » 21 sie 2007, o 12:25

zdecyduj się w końcu jaki to szereg, bo nie będe co chwilę posta zmieniał :mad:

dla szeregu o mianowniku \(\displaystyle{ 3^{n+1}}\):

\(\displaystyle{ \frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+2}} : \frac{(x-2)^{n}}{3^{n+1}} = \frac{x-2}{3}}\)

szereg zbieżny dla \(\displaystyle{ x < 5}\), rozbieżny dla \(\displaystyle{ x > 5}\). Gdy \(\displaystyle{ x = 5}\) to mamy szereg jedynek, więc rozbieżny.

Dla szeregu o mianowniku \(\displaystyle{ 3^{n}+1}\):


\(\displaystyle{ \frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}+1} : \frac{(x-2)^{n}}{3^{n}+1} = \frac{(x-2)(3^n+1)}{3^{n+1}+1} = \frac{\frac{1}{3}(x-2)(3^{n+1}+1)+\frac{2}{3}(x-2)}{3^{n+1}+1}=\frac{x-2}{3}+\frac{2(x-2)}{3(3^{n+1}+1)} \frac{x-2}{3}}\)
Zatem gdy \(\displaystyle{ x < 5}\) szereg zbieżny, gdy \(\displaystyle{ x > 5}\) szereg rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ x = 5}\) trzeba sprawdzić - wtedy wyraz szeregu ma postać \(\displaystyle{ a_n=\frac{3^n}{3^n+1}=1-\frac{1}{3^n+1}}\) - czyli szereg zbieżny.

Mr Max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 21 sie 2007, o 12:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: Mr Max » 21 sie 2007, o 12:41

ok, sory :), ale dzięki za pomoc, jeszcze tylko pytanie czy na pewno dla x>5 jest rozbieżny a nie zbieżny?
nie powinno wyjść dla x

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: scyth » 21 sie 2007, o 12:44

gdy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1}\) to szereg rozbieżny, \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1}\) zbieżny, \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1}\) nie wiadomo.

oczywiście mówimy dla \(\displaystyle{ n }\)
Ostatnio zmieniony 21 sie 2007, o 12:46 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.

Mr Max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 21 sie 2007, o 12:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: Mr Max » 21 sie 2007, o 12:44

a jeszcze taki przykład:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{3n^2}}\)

nie bardzo wiem jak sie z tym mianownikiem uporać ;>

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: scyth » 21 sie 2007, o 12:54

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(x-1)^{n+1}}{3(n+1)^2}:\frac{(x-1)^n}{3n^2}= \frac{n^2(x-1)}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2(x-1)-(2n+1)(x-1)}{(n+1)^2} = (x-1)-\frac{(2n+1)(x-1)}{(n+1)^2} x-1}\)

Dalej powinieneś sobie poradzić.

Mr Max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 21 sie 2007, o 12:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: Mr Max » 21 sie 2007, o 13:12

ok dzięki

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: max » 24 sie 2007, o 19:18

Wypadałoby zauważyć, że nigdzie nie zakładamy, że nasz szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich, zatem jeśli korzystamy z kryterium d'Alemberta to rozpatrujemy ciąg wartości bezwzględnych wyrazów szeregu, więc chociażby w pierwszym przykładzie przedziałem zbieżności będzie przedział \(\displaystyle{ (-1, 5)}\).

ODPOWIEDZ