Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

[Mr Max]

Mam takie zadanko, proszę o pomoc jak to wyliczyć dokładnie:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{3^n^+^1}}\)

Bardzo proszę o pomoc, z góry dzięki


Temat poprawiłam, radzę czytać ogłoszenia.

ariadna

[scyth]

zdecyduj się w końcu jaki to szereg, bo nie będe co chwilę posta zmieniał :mad:

dla szeregu o mianowniku \(\displaystyle{ 3^{n+1}}\):

\(\displaystyle{ \frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+2}} : \frac{(x-2)^{n}}{3^{n+1}} = \frac{x-2}{3}}\)

szereg zbieżny dla \(\displaystyle{ x < 5}\), rozbieżny dla \(\displaystyle{ x > 5}\). Gdy \(\displaystyle{ x = 5}\) to mamy szereg jedynek, więc rozbieżny.

Dla szeregu o mianowniku \(\displaystyle{ 3^{n}+1}\):


\(\displaystyle{ \frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}+1} : \frac{(x-2)^{n}}{3^{n}+1} = \frac{(x-2)(3^n+1)}{3^{n+1}+1} = \frac{\frac{1}{3}(x-2)(3^{n+1}+1)+\frac{2}{3}(x-2)}{3^{n+1}+1}=\frac{x-2}{3}+\frac{2(x-2)}{3(3^{n+1}+1)} \frac{x-2}{3}}\)
Zatem gdy \(\displaystyle{ x < 5}\) szereg zbieżny, gdy \(\displaystyle{ x > 5}\) szereg rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ x = 5}\) trzeba sprawdzić - wtedy wyraz szeregu ma postać \(\displaystyle{ a_n=\frac{3^n}{3^n+1}=1-\frac{1}{3^n+1}}\) - czyli szereg zbieżny.

[Mr Max]

ok, sory , ale dzięki za pomoc, jeszcze tylko pytanie czy na pewno dla x>5 jest rozbieżny a nie zbieżny?
nie powinno wyjść dla x

[scyth]

gdy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1}\) to szereg rozbieżny, \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1}\) zbieżny, \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1}\) nie wiadomo.

oczywiście mówimy dla \(\displaystyle{ n }\)

[Mr Max]

a jeszcze taki przykład:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{3n^2}}\)

nie bardzo wiem jak sie z tym mianownikiem uporać ;>

[scyth]

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(x-1)^{n+1}}{3(n+1)^2}:\frac{(x-1)^n}{3n^2}= \frac{n^2(x-1)}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2(x-1)-(2n+1)(x-1)}{(n+1)^2} = (x-1)-\frac{(2n+1)(x-1)}{(n+1)^2} x-1}\)

Dalej powinieneś sobie poradzić.

[Mr Max]

ok dzięki

[max]

Wypadałoby zauważyć, że nigdzie nie zakładamy, że nasz szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich, zatem jeśli korzystamy z kryterium d'Alemberta to rozpatrujemy ciąg wartości bezwzględnych wyrazów szeregu, więc chociażby w pierwszym przykładzie przedziałem zbieżności będzie przedział \(\displaystyle{ (-1, 5)}\).