Kilka ciekawych całek

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
mała193
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 3 sty 2007, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 63 razy

Kilka ciekawych całek

Post autor: mała193 » 20 sie 2007, o 18:28

Prosze o pomoc w rozwiązaniu następujących całek tylko prosze o dokładne rozpisanie bo ja sie w tym nie bardzo orientuję pozdrawiam
1) \(\displaystyle{ \int \ctg^{2}x dx}\)
2) \(\displaystyle{ \int (\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}) dx}\)
3) \(\displaystyle{ \int \tg(5-3x) dx}\)
4) \(\displaystyle{ \int \frac {e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx}\)
5) \(\displaystyle{ \int \frac {3x+5}{\sin^{2}x} dx}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Kilka ciekawych całek

Post autor: soku11 » 20 sie 2007, o 18:42

2)
\(\displaystyle{ \int (sin\frac{x}{2} - cos\frac{x}{2}) dx =
t (sin\frac{x}{2} - sin(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})) dx =
t (2cos\frac{\pi}{4}\cdot sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})) dx =
t \sqrt{2} sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx =
\sqrt{2}\int sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx\\
\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=t\\
dx=2dt\\
\sqrt{2}\int sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) dx=
2\sqrt{2}\int sint dt=...}\)


3)
\(\displaystyle{ \int tg(5-3x) dx \\
5-3x=t\\
-3 dx=dt\\
dx=-\frac{1}{3}dt\\
-\frac{1}{3}\int tg t dt=...\\}\)


4)
\(\displaystyle{ \int \frac {e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx \\
\sqrt{x}=t\\
\frac{1}{2\sqrt{x}} dx=dt\\
\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2dt\\
2\int e^t dt=...}\)


POZDRO

mała193
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 237
Rejestracja: 3 sty 2007, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 63 razy

Kilka ciekawych całek

Post autor: mała193 » 20 sie 2007, o 18:53

Śliczne dzieki a czy ktoś ma pomysł na pozostałe całki bo ja nie mam pojęcia jak je rozwiązać

smiechowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 374
Rejestracja: 21 cze 2007, o 11:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łostowice
Pomógł: 146 razy

Kilka ciekawych całek

Post autor: smiechowiec » 20 sie 2007, o 19:55

\(\displaystyle{ \int ctg^{2}x dx = t \frac{cos^{2}x}{sin^{2}x} dx =
t \frac{ 1 - sin^{2}x}{sin^{2}x} dx = \\
t \frac{1}{sin^{2}x} dx - t \frac{sin^{2}x}{sin^{2}x} dx -ctg x - x + C}\)

Awatar użytkownika
steal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1043
Rejestracja: 7 lut 2007, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 160 razy

Kilka ciekawych całek

Post autor: steal » 20 sie 2007, o 21:18

Przykład 5
\(\displaystyle{ \\ I=\int\frac{3x+5}{sin^2x}dx=3\int\frac{xdx}{sin^2x}+5\int\frac{dx}{sin^2x}=3\int\frac{xdx}{sin^2x}-5ctgx}\)
Obliczmy pierwszą całkę, dokonujemy podstawienia: \(\displaystyle{ tgx=t}\) czyli \(\displaystyle{ x=arctgt}\). Różniczkujemy pierwszą część: \(\displaystyle{ \frac{dx}{sin^2x}=dt}\) i podstawiamy:
\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{sin^2x}=\int arctgtdt}\). Ta całka idzie przez części:
\(\displaystyle{ u=arctgt}\) \(\displaystyle{ dv=dt}\)
\(\displaystyle{ du=\frac{dt}{1+t^2}}\) \(\displaystyle{ v=t}\)
\(\displaystyle{ I=tarctgt-\int\frac{t}{1+t^2}dt=tarctgt-\frac{1}{2}ln(1+t^2)+C}\). Powracamy do podstawienia i już

ODPOWIEDZ