Matematyka.pl

Znaleźć prace, którą trzeba wykonać aby skrócić linkę na której obraca się na płaskim stole (bez tarcia) masa \(\displaystyle{ m}\) z prędkością \(\displaystyle{ v_0}\). Początkowa długość linki wynosi \(\displaystyle{ l_0=0.5 m}\) a końcowa \(\displaystyle{ l_k=0.1 m}\).

Moje rozwiązanie:
Wykonana praca to różnica energii kinetycznej masy w położeniu \(\displaystyle{ 0}\) i w położeniu \(\displaystyle{ k}\) czyli:
\(\displaystyle{ W=\Delta E=E_0-E_k \\ E_0=\frac{mv_0^2}{2} \\ E_k=\frac{mv_k^2}{2}}\)
przy czym \(\displaystyle{ v_k}\) wyznaczam za pomocą wzoru na prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega=\frac{v}{r}}\)
Czy dobrze myślę?

\(\displaystyle{ W=E_k-E_0}\), \(\displaystyle{ \Delta}\) zawsze znaczy koniec minus początek.
A reszta, przy założeniu, że prędkość kątowa się nie zmieni to tak. Ale coś mi się wydaje, że stała ma być siła dośrodkowa, bo nie jedno takie zadanie niedawno widziałem i robiłem. Szczególnie jeśli jesteś z Warszawy

Mamy do czynienia z ruchem obrotowym, więc przy założeniu, że "osoba" skracająca linkę należy do układu, to stały będzie tutaj MOMENT PĘDU
Zapiszemy to tak:
\(\displaystyle{ ml_0^2\omega_0 = ml_k^2\omega_k}\)
co oznacza, że:
\(\displaystyle{ \omega_k=\omega_0 (\frac{l_0}{l_k})^2}\)
A zatem zmieniła się prędkość kątowa.

W tej sytuacji pracę sugeruję potraktować jako zmianę energii kinetycznej w ruchu obrotowym:
\(\displaystyle{ W = \frac{I_k\omega_k^2}{2}-\frac{I_0\omega_0^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ W = \frac{mv_0^2(l_0^2-l_k^2)}{2l_k^2}}\)

A można też tak:
Bazując wciąż na zasadzie zachowania momentu pędu:
\(\displaystyle{ ml_0^2\omega_0 = ml_k^2\omega_k}\)
oraz na tym, że:
\(\displaystyle{ l_0\omega_0 = v_0}\) zaś \(\displaystyle{ l_k\omega_k = v_k}\)
możemy zrobić tak:
\(\displaystyle{ l_0v_0=l_kv_k}\)
\(\displaystyle{ v_k=v_0 \frac{l_0}{l_k}}\)
Wówczas posłużymy się zmianą energii kinetycznej w ruchu postępowym:
\(\displaystyle{ W= \frac{mv_k^2}{2}- \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2(l_0^2-l_k^2)}{2l_k^2}}\)
Wynik ten sam:)