całka (1/x)lnx dx

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

całka (1/x)lnx dx

Post autor: josef871 » 20 sie 2007, o 16:11

Prosze o pomoc przy całce:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x} \ln x dx}\)

całkując przez części dochodze do takiego wyniku:

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x} \ln x dx = \ln^{2}x - t \frac{1}{x} \ln x dx}\) ...i nie wiem za bradzo co z tym zrobić w książce mam taki wynik:

\(\displaystyle{ \frac {1}{2} \ln^{2}x + C}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Hamster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 5 lis 2006, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 16 razy

całka (1/x)lnx dx

Post autor: Hamster » 20 sie 2007, o 16:19

TO sie nazywa zadanie z podstawówki: 'Cegła waży kilo i pół cegły, ile waży Cegła ?'

Przerzucasz \(\displaystyle{ - \int \frac{1}{x} \ln x dx}\) na drugą stronę i masz, że dwie całki \(\displaystyle{ \int \frac{1}{x} \ln x dx=\ln^{2}x}\), więc jedna całka jest równa: \(\displaystyle{ \frac {1}{2} \ln^{2}x + C}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

całka (1/x)lnx dx

Post autor: scyth » 20 sie 2007, o 16:20

josef871 pisze:Prosze o pomoc przy całce:
całkując przez części dochodze do takiego wyniku:

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x} \ln x dx = \ln^{2}x - t \frac{1}{x} \ln x dx}\)
i teraz \(\displaystyle{ - t \frac{1}{x} \ln x dx}\) na lewą stronę, dostajesz:
\(\displaystyle{ 2\int \frac{1}{x} \ln x dx = \ln^{2}x}\)

josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

całka (1/x)lnx dx

Post autor: josef871 » 20 sie 2007, o 16:29

dobra dzięki...jakoś to sobie wcześniej przekombinowałem a wynik był tuż, tuż..

Awatar użytkownika
alia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

całka (1/x)lnx dx

Post autor: alia » 20 sie 2007, o 21:44

A dlaczego taką okrężną drogą, tj.metodą całkowania przez części. Czyż nie łatwiej met.podstawiania ?
\(\displaystyle{ ln{x} = t}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}dx=dt}\)
\(\displaystyle{ \int{t}\,dt = \frac{t^2}{2}+C = \frac{ln^2{x}}{2}+C}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka (1/x)lnx dx

Post autor: luka52 » 20 sie 2007, o 21:55

alia, na upartego można powiedzieć, że Ty też idziesz okrężną drogą, gdyż pomocniczą zmienną można sobie "odpuścić", tj.:
\(\displaystyle{ = t \ln x \, \mbox{d} ft( \ln x \right) = \frac{\ln^2 x}{2} + C}\)

Awatar użytkownika
alia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

całka (1/x)lnx dx

Post autor: alia » 21 sie 2007, o 10:18

Luka52 - Twój zapis jest skrótem myślowym metody podstawiania

ODPOWIEDZ