Planimetria (ekstremum)

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Planimetria (ekstremum)

Post autor: Grzegorz t » 20 sie 2007, o 12:59

W wycinek koła o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i kącie środkowym \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) wpisano prostokąt o możliwie największym polu w taki sposób, że dwa jego wierzchołki leżą na jednym promieniu, a z pozostałych dwóch jeden leży na łuku, a drugi na promieniu tego wycinka. Wyznaczyć pole tego prostokąta.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

CheGitarra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 16 paź 2006, o 13:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z planety IRK
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 6 razy

Planimetria (ekstremum)

Post autor: CheGitarra » 23 sie 2007, o 20:15

Zadanie nie jest trudne, wystarczy je dobrze rozpisać...



Pole prostokąta opiszemy \(\displaystyle{ P = (x_{2}-x_{1})*y}\)
Zauważamy, że \(\displaystyle{ x_{1}=y}\)
Punkt na odcinku opisuje równanie \(\displaystyle{ x_{2}^2+y^2 = R^2}\), więc \(\displaystyle{ x_{2}^2=\sqrt{R^2-y}}\)
Podstawiamy do wzoru na pole \(\displaystyle{ P = (x_{2}-x_{1})*y=(\sqrt{R^2-y^2}-y)*y}\)
Teraz wystarczy policzyć pochodną tej f-cji i sprawdzić gdzie ma dodatnie ekstrema... a potem podstawić do właściwej f-cji pola pamiętając jeszcze , że \(\displaystyle{ 0 qslant y qslant R}\)

ODPOWIEDZ