Całka z wykorzystanie funkcji potęgowej

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Całka z wykorzystanie funkcji potęgowej

Post autor: Kaktusiewicz » 20 sie 2007, o 10:39

Witam!
Od wczoraj głowię się nad tym zadaniem:
Rozwinąć w szereg potęgowy w otoczeniu \(\displaystyle{ x_{0}=\frac{\pi}{2}}\) funkcję \(\displaystyle{ f(x)=cosx}\), a następnie obliczyć \(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{cosx}{x-\frac{\pi}{2}}dx}\) z dokładnością 0,01.
Po przyjęciu \(\displaystyle{ x=y+\frac{\pi}{2}}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-\frac{\pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} \ , \ x\in R}\).
Tu zaczyna się problem.
Moje pierwsze pytanie: w którym miejscu wyznaczać dokładność, czy z powyższego szeregu, czy po podstawieniu rozwinięcia cosx do całki (wtedy ulegnie częściowemu zredukowaniu i dokładność zwiększy się). Osobiście rozpisałem pierwszy szereg (za h przyjąłem \(\displaystyle{ \pi-\frac{\pi}{2}}\)) i otrzymałem odpowiednie przybliżenie dla \(\displaystyle{ R_{2}=f'''(\frac{\pi}{2}+\theta\frac{\pi}{2})=0,004 < 0,01}\). Wynika z tego, że potrzebujemy trzech wyrazów ciągu (0,1,2).
Abstrahując od tego, trzymujemy coś takiego: \(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-\frac{\pi}{2})^{2n}}{(2n+1)!}dx}\)
Co dalej? Bardzo proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Całka z wykorzystanie funkcji potęgowej

Post autor: scyth » 20 sie 2007, o 16:09

Czyli z tego wniosek, że szukana wartość to:
\(\displaystyle{ \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sum_{n=0}^{2} (-1)^{n+1} \frac{(x-\frac{\pi}{2})^{2n}}{(2n+1)!} dx = t \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ft( -1 + \frac{x-\frac{\pi}{2}}{6} - \frac{(x-\frac{\pi}{2})^2}{120}
\right)dx}\)

Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Całka z wykorzystanie funkcji potęgowej

Post autor: Kaktusiewicz » 20 sie 2007, o 20:20

Witam!
Czyli mój tok rozumowania i wyznaczania h był dobry?
Powinno być chyba:
\(\displaystyle{ \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sum_{n=0}^{2} (-1)^{n+1} \frac{(x-\frac{\pi}{2})^{2n}}{(2n+1)!} dx = t \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ft( -1 + \frac{(x-\frac{\pi}{2})^2}{6} - \frac{(x-\frac{\pi}{2})^4}{120}\right) dx}\), ale to już kosmetyka...

ODPOWIEDZ