Wyprowadzenie wzorów trygonometrycznych.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wyprowadzenie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: Emiel Regis » 19 sie 2007, o 23:28

Chodzi mi mianowicie o wzory na funkcję sumy argumentów oraz sumę funkcji.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ sin(x+y)=sinx cosy + cosx siny}\)
\(\displaystyle{ sinx+siny=2sin \frac{x+y}{2}cos \frac{x-y}{2}}\)
Znajac te osiem podstawowych wzorów potrafię wyprowadzić wszystkie inne których używam, tylko jak te wyprowadzic?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wyprowadzenie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: luka52 » 19 sie 2007, o 23:54

Pierwsze http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=15980#73396

A drugi wzór można udowodnić znając pierwszy

O tak:
\(\displaystyle{ \sin x + \sin y = 2 ft( \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} \right) = \\
= 2 ft( \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} ft( \cos^2 \frac{y}{2} + \sin^2 \frac{y}{2} \right) + \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} ft( \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} \right) \right) = \\
= 2 ft( \cos \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2} + \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2} \right) ft( \cos \frac{y}{2} \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2} \right) = \\
= 2 \cos \frac{x-y}{2} \sin \frac{x+y}{2}}\)

Ostatnio zmieniony 20 sie 2007, o 13:39 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wyprowadzenie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: Emiel Regis » 20 sie 2007, o 00:38

Wielkie dzięki za link!
Abstrahując od jego wartości merytorycznej to dawno sie tak nie ubawiłem; ) Nie dziwię się że zapamiętałeś ten wątek.
A takie geometryczne wyprowadzenie okazuje się całkiem łatwe i przyjemne, ale żeby samemu na to wpaść to już inna bajka.

Co do drugiego wzoru... Nie wiem czy pora nie jest zbyt późna ale w tym co Ty napisałeś nie widze przejścia z trzeciej do czwartej linijki...

luka52 pisze: \(\displaystyle{ 2 ft( \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} ft( \cos^2 \frac{y}{2} + \sin^2 \frac{y}{2} \right) + \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} ft( \cos^2 \frac{y}{2} + \sin^2 \frac{y}{2} \right) \right) = \\
= 2 ft( \cos \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2} + \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2} \right) ft( \cos \frac{y}{2} \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2} \right)}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wyprowadzenie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: luka52 » 20 sie 2007, o 00:41

W tym drugim to już nie chiało mi się tyle pisać i tak skrótowo tylko pokazałem to przejście. Spróbuj rano na spokojnie to rozpisać i uporządkować odpowiednio, a jak będziesz miał problemy to wtedy napisz

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wyprowadzenie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: Emiel Regis » 20 sie 2007, o 13:11

Tam na pewno w obu jedynkach ma być y? Może w którejś domnażasz razy x...
Pokombinuje z różnymi wariantami.

[edit]
No i jest!
na krzyż domnażasz x oraz y.
Tam z prawej jest \(\displaystyle{ cos^2 \frac{x}{2} + sin^2 \frac{x}{2}}\)
i wszystko się zgadza.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wyprowadzenie wzorów trygonometrycznych.

Post autor: luka52 » 20 sie 2007, o 13:40

Drizzt pisze:Tam z prawej jest (...)
Zgadza się - po skopiowaniu i wklejeniu tekstu zapomniałem zmienić literki
No, ale było już późno

ODPOWIEDZ