Matematyka.pl

Mam kilka pytań

Zadanie 1
Zbadać czy zbiory są otwarte w podanych przestrzeniach metrycznych.

a) \(\displaystyle{ A:=[ pi ,5) cap QQ}\) w \(\displaystyle{ X:=\QQ}\) z metryką \(\displaystyle{ d}\) indukowaną z \(\displaystyle{ (\RR, d_{2})}\)

b) \(\displaystyle{ B:=[0,1) \times (-1,0]}\) w \(\displaystyle{ X:=\left\{ (x,y) \in \RR^{2}|x \ge 0,y \le 0\right\}}\) z metryką \(\displaystyle{ d}\) indukowaną z \(\displaystyle{ (\RR^{2}, d_{2})}\)

Zadanie 2

Zbadać domkniętość, zwartość, spójność zbiorów w podanych przestrzeniach metrycznych

a) \(\displaystyle{ A:=[0,1] imes [0,+infty)}\) w \(\displaystyle{ (\RR^{2}, d_{2})}\)
b) \(\displaystyle{ B:=\left\{ (x,y) \in \RR^{2}| x^{2}+y^{4} \le 9\right\}}\) w \(\displaystyle{ (\RR^{2}, d_{2})}\)

W zadaniu 1a wydaje mi się, że zbiór jest otwarty? Dobrze myślę?
W pozostałych przykładach bardzo będę wdzięczna za pomoc

W 1 masz racje, ale wypadaloby to udowodnic.2 takze jest otwarty.
Co do zadania 2:

-czy iloczyn kartezjanski przestrzeni spojnych jest spojny?
-jakie jest uzyteczne kryterium na zwartosc zbiorow w przestrzeniach euklidesowych?

Sama domknietosc np B. mozesz wykazac tak:
\(\displaystyle{ \varphi : \RR^2 \rightarrow \RR_{+}}\)
\(\displaystyle{ \varphi(x,y) = x^2 + y^4}\)
\(\displaystyle{ B = \varphi^{-1}([0,9])}\) zatem B jest domkniety.

Co co do zadania 1a
\(\displaystyle{ A:=[ pi ,5) cap QQ=( pi ,5) cap QQ}\), czyli oczywiście zbiór \(\displaystyle{ ( \pi ,5)}\) jest otwarty zatem na mocy takiego twierdzenia (w skrócie):
\(\displaystyle{ (X,d)}\) przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ A \subset X}\)
Zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ (A,d_{|a})}\) jezeli istnieje zbiór \(\displaystyle{ W}\) zawarty w \(\displaystyle{ X}\) otwarty, że \(\displaystyle{ U=W \cap A}\).
zbiór \(\displaystyle{ A:=[ pi ,5) cap QQ}\) jest otwarty Dobrze myślę?

Co do b to przyznaje szczerze, że nie wiem jak pokazać, że jest otwarty. Jakoś tego nie widzę

1 dobrze.A b) robisz dokladnie analogicznie.Zbior w b) jest taka kostka, ktora nie ma prawego i dolnego boku.Jest on sladem otwartego podzbioru \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) chociazby takiego:
I,II,III (cwiartka I i III musza byc bez brzegu) cwiartka plus ten kwadrat.Jego przeciecie z \(\displaystyle{ B}\) da Ci te kostke.Zatem na mocy tego o czym wspomnialas przy podpunkcie a) jest to zbior otwarty w B.