Zbadaj zbieżność szeregu funkcyjnego.

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
zuza2006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 sie 2007, o 17:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Zbadaj zbieżność szeregu funkcyjnego.

Post autor: zuza2006 » 19 sie 2007, o 17:11

Czy szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x^2+n}}\) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze R? Tylko w tym przypadku prosiłabym tak krok po kroczku gdyż zbieżności jednostajnej za bardzo nie rozumiem. Z góry dziękuję.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

Zbadaj zbieżność szeregu funkcyjnego.

Post autor: robin5hood » 27 sie 2007, o 11:25

obliczamy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{(-1)^n}{x^2+n}=0}\)
Teraz badamy jednostajna zbieznosc
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \sup \left| \frac{(-1)^n}{x^2+n}-0 \right|, x \in \RR \right)}\)
Teraz szukamy maksimum funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+n}}\)
obliczamy pochodną \(\displaystyle{ \frac{-2x}{ \left( x^2+n \right)^2 }}\) i ona sie zeruje gdy \(\displaystyle{ x=0}\), wiec
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \sup \left| \frac{(-1)^n}{x^2+n}-0 \right|, x \in \RR \right) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0}\)
zatem szetreg jest jedostajnie zbiezny
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2014, o 22:41 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ