Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{x\arcctg(3-x)}{\sin(x\pi)}}\)
Bardzo prosze o pomoc w policzeniu takiej granicy i ew. wskazanie błędów w rozumowaniu
Zauważyłem, ze \(\displaystyle{ \arcctg(3-x)}\) dąży do \(\displaystyle{ \pi}\) . Wiem,że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 }x\sin(\frac{1}{x})=0}\)
Gdyby to zastosować u nas to mamy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty}\frac{1}{\frac{1}{x\pi}\sin(x\pi)}}\)
Czyli mamy \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{0}\right]}\)
Czy to oznacza ze granica wynosi \(\displaystyle{ +\infty}\)? Gdyż podchodzimy tylko z prawej strony zera ze względu na \(\displaystyle{ \lim_{x \to\infty}\frac{1}{x}=0 }\) natomiast \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty}\) ?

Zauważyłem, ze \(\displaystyle{ \arcctg(3-x)}\) dąży do \(\displaystyle{ \pi}\)

Dobrze.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty}\frac{1}{\frac{1}{x\pi}\sin(x\pi)}}\)

To wyrażenie nie dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), bo gdy np. \(\displaystyle{ x=2n+ \frac{3}{2}, n\in \NN}\), to mianownik jest ujemny. Zatem dalsze wnioskowanie z Twojej wypowiedzi jest nieuprawnione.
Ta granica nie istnieje. By to udowodnić, wystarczy wskazać dwa ciągi \(\displaystyle{ (x_{n})}\) i \(\displaystyle{ (y_{n})}\) takie, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }x_{n}= \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }y_{n}= \infty}\), dla których uzyskujemy różne granice:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}\arcctg(3-x_{n})}{\sin(x_{n}\pi)}
\neq \lim_{n \to \infty } \frac{y_{n}\arcctg(3-y_{n})}{\sin(y_{n}\pi)}}\)

No tak racja! Już wszystko rozumiem dziękuje