Suma szeregu potęgowego - skonsultowanie wyniku

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Suma szeregu potęgowego - skonsultowanie wyniku

Post autor: Kaktusiewicz » 19 sie 2007, o 16:07

Witam!
Chciałbym tylko skonsultować wynik zadania:
Obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-e)^n}{2n+1}}\) Wskazówka: zbadać sumę odpowiedniego szeregu potęgowego.
Po utworzeniu sumy szeregu \(\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-e)^n}{2n}x^{2n+1}}\) i zróżniczkowaniu go otrzymujemy: \(\displaystyle{ S'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(1-e)^n} x^{2n}}\)
Szereg ten jest zbieżny dla \(\displaystyle{ xin]frac{-1}{sqrt{e-1}},frac{1}{sqrt{e-1}}[}\) i \(\displaystyle{ S(x)=\frac{1}{1-(e-1)x^2}}\).
Żeby otrzymać S(x) należy teraz scałkować powyższą sumę i tu budzą się moje wątpliwości. Jakie granice przyjąć w całce? Czy będzie to: \(\displaystyle{ S(x)=\int\limits_{(x_{0}=)0}^{\sqrt{e-1}}S'(x)dx=\sqrt{e-1}\frac{\pi}{4}}\).
Chodzi głównie o górną granicę całkowania.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Suma szeregu potęgowego - skonsultowanie wyniku

Post autor: luka52 » 19 sie 2007, o 16:15

Mi się wydaje, że ten szereg jest rozbieżny, więc szukana suma to ∞

Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Suma szeregu potęgowego - skonsultowanie wyniku

Post autor: Kaktusiewicz » 19 sie 2007, o 19:45

Witam!
Przeanalizowałem zadanie jeszcze raz i wychodzi ten sam przedział, w którym x jest zbieżny, jak w moim pierwszym poście. Hmm... A jeśli przyjmiemy, że jest zbieżny w danym przedziale, to czy mój tok rozumowania z granicami w całce jest prawidłowy (górna =\(\displaystyle{ \sqrt{e-1}}\))?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Suma szeregu potęgowego - skonsultowanie wyniku

Post autor: max » 24 sie 2007, o 17:33

Szereg rzeczywiście jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności. Jednocześnie warto zauważyć, że nie jest to szereg o wyrazach dodatnich, więc z jego rozbieżności wcale nie wynika, że jest rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\). Nietrudno zresztą pokazać, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(1 - e)^{k}}{2k + 1} = +\infty\\
\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{2n + 1}\frac{(1 - e)^{k}}{2k + 1} = -\infty}\)


Wracając jeszcze do rozumowania przedstawionego w pierwszym poście - pomijając zły znak w mianowniku pochodnej sumy szeregu potęgowego, górną granicą całkowania powinno być oczywiście \(\displaystyle{ 1}\), gdyż właśnie dla \(\displaystyle{ x = 1}\) otrzymamy z utworzonego szeregu potęgowego nasz szereg. Sęk w tym, że \(\displaystyle{ 1 > \frac{1}{\sqrt{e - 1}}}\), a poza przedziałem zbieżności operacje takie jak różniczkowanie wyraz za wyrazem nie są poprawne.

ODPOWIEDZ