Twierdzenie Greena - dowód?

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Twierdzenie Greena - dowód?

Post autor: rObO87 » 19 sie 2007, o 12:17

Czy ktoś jest w stanie udowodnoć mi to twierdzenie? (google nie pomogły)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Twierdzenie Greena - dowód?

Post autor: bullay » 19 sie 2007, o 12:35

Niech krzywa \(\displaystyle{ \displaystyle K}\), zbiór \(\displaystyle{ \displaystyle D}\), oraz funkcje \(\displaystyle{ \displaystyle P(x,y)}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle Q(x,y)}\) będą jak wyżej. Wtedy:

\(\displaystyle{ \displaystyle \oint_K Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}\).

Dowód

Wykażemy, że

\(\displaystyle{ \displaystyle \oint_K P(x,y)dx \ =\ \iint\limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy}\)

i

\(\displaystyle{ \displaystyle \oint_K Q(x,y) dy \ =\ \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) dxdy}\).

Skoro zbiór \(\displaystyle{ \displaystyle D}\) jest normalny względem osi \(\displaystyle{ \displaystyle Ox}\), to istnieje przedział \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle [a,b]\subset \mathbb{R}}\) i dwie funkcje \(\displaystyle{ \displaystyle y_1(x), y_2(x)}\) takie, że

\(\displaystyle{ \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, y_1(x)\leq y q y_2(x)\}}\).

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \displaystyle K_1}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle y_1(x)}\), a przez \(\displaystyle{ \displaystyle K_2}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle y_2(x)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \displaystyle K \ =\ K_1+(-K_2)}\),

zatem
\(\displaystyle{ \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b \dy \displaystyle\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx.}\)

Korzystając teraz z definicji całki krzywoliniowej, mamy:
\(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx=\displaystyle\int\limits_a^bP(x,y_2(x))dx}\)

oraz
\(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=\displaystyle\int\limits_a^bP(x,y_1(x))dx}\),

a zatem
\(\displaystyle{ \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx&=\displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx\\ &= -\displaystyle\int\limits_{-K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=-\oint_KP(x,y)dx. \endaligned}\)

Analogicznie, skoro \(\displaystyle{ \displaystyle D}\) jest normalny względem osi \(\displaystyle{ \displaystyle Oy}\), to istnieje przedział \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle [c,d]\subset \mathbb{R}}\) i dwie funkcje \(\displaystyle{ \displaystyle x_1(y), x_2(y)}\)takie, że
\(\displaystyle{ \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : c\leq y\leq d, x_1(y)\leq x q x_2(y)\}}\).

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \displaystyle L_1}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle x_1(y)}\), a przez \(\displaystyle{ \displaystyle L_2}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle x_2(y)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \displaystyle K \ =\ L_1+(-L_2)}\),

zatem
\(\displaystyle{ \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d dy \displaystyle\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(Q(x_2(y),y)-Q(x_1(y),y)\right)dy=}\)

analogicznie jak wyżej
\(\displaystyle{ \displaystyle =\displaystyle\int\limits_{L_2}Q(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{L_1}Q(x,y)dx= \displaystyle \oint\limits_{K} Q(x,y)dx}\).
Co konczy dowod


Uwaga

Zauważmy, że twierdzenie Greena jest prawdziwe także dla zbiorów, które możemy podzielić na skończoną sumę zbiorów normalnych względem obu osi.


Podział zbioru na zbiory normalne



Wystarczy wykazać uwagę dla zbioru \(\displaystyle{ \displaystyle D}\) będącego sumą dwóch zbiorów normalnych względem obu osi \(\displaystyle{ \displaystyle D=D_1\cup D_2}\). Niech \(\displaystyle{ \displaystyle L}\) będzie krzywą dzielącą \(\displaystyle{ \displaystyle D}\) na \(\displaystyle{ \displaystyle D_1\cup D_2}\), niech \(\displaystyle{ \displaystyle K_1=\partial D_1\setminus L, K_2=\partial D\setminus L}\). Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\partial D_1}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\partial D_2}\) zorientujemy dodatnio, to krzywą \(\displaystyle{ \displaystyle L}\) przebiegamy raz w jedną, raz w drugą stronę, możemy zatem napisać \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\partial D=K=K_1+L+K_2-L}\).

Wtedy

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll} \displaystyle\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy&=&\displaystyle \iint\limits_{D_1}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy+\iint\limits_{D_2}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy\\ &=&\displaystyle\int\limits_{K_1+L}Pdx+Qdy+ \displaystyle\int\limits_{K_2-L}Pdx+Qdy=\displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy. \end{array}}\)
Co konczy dowod.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7308
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 949 razy

Twierdzenie Greena - dowód?

Post autor: Kartezjusz » 9 mar 2010, o 12:00

Coś z Tw Greena dla funkcji
wiadomo z funkcjami typu:
\(\displaystyle{ \oint Pdx + Qdy + Ddz}\)?

ODPOWIEDZ