Zbadaj zbieżność szeregu.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
zuza2006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 sie 2007, o 17:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: zuza2006 » 19 sie 2007, o 11:24

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}}\)

Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

siNister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 16 kwie 2006, o 17:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/Gliwice
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 16 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: siNister » 21 sie 2007, o 18:16

szereg jest zbiezny a opisze dlaczego, jak sobie texa przypomne ;P

[ Dodano: 21 Sierpnia 2007, 19:20 ]
jezeli za \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) podstawimy t i skorzystamy z zaleznosci ze \(\displaystyle{ |sint|}\)

zuza2006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 sie 2007, o 17:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: zuza2006 » 21 sie 2007, o 21:22

Dziękuję. Bardzo sprytne rozwiązanie.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6503
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: mol_ksiazkowy » 21 sie 2007, o 21:44

siNister napisaL
wiedzac, ze szereg po drugiej stronie jest zbiezny, udowodnilismy ze nasz szereg jest zbiezny bezwzglednie.
ale
\(\displaystyle{ \sum_t \frac{1}{t^2}=+\infty}\)...?!
\(\displaystyle{ t^2=n}\)

zuza2006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 sie 2007, o 17:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: zuza2006 » 21 sie 2007, o 22:23

a nie:

\(\displaystyle{ \sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}}\)


Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: setch » 21 sie 2007, o 22:26

mol_ksiazkowy, przecież szereg \(\displaystyle{ \sum_{t=1}^{\infty} \frac{1}{t^2}}\) jest zbieżny jako szereg harmoniczny stopnia drugiego.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: Emiel Regis » 21 sie 2007, o 22:36

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}}\)
Bezwzględnie to on na pewno nie jest zbieżny.
Tutaj też można by moduł licznika oszacować przez jeden. I wtedy taki harmoniczny nigdy nie będzie zbieżny.

zuza2006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 sie 2007, o 17:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: zuza2006 » 21 sie 2007, o 22:46

No to ja już sama nie wiem... Help...

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: Emiel Regis » 21 sie 2007, o 22:49

Przyznam że też mam duże wątpliwości, ten sinus mógłby robić za czynnik 'minusotwórczy' i wtedy by nam wyszedł szereg podobny do:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}}\)
i byłby warunkowo zbieżny. Ale czy tak jest...

zuza2006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 sie 2007, o 17:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: zuza2006 » 21 sie 2007, o 23:04

\(\displaystyle{ \sin(x)>0 \ dla \ 0}\)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: setch » 21 sie 2007, o 23:08

zuza2006, ale już \(\displaystyle{ \sqrt{16}=4 \not\in (0;\pi)}\)

zuza2006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 sie 2007, o 17:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: zuza2006 » 21 sie 2007, o 23:20

tak ale czy tu jest wobec tego szansa że szereg ten jest naprzemienny

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: przemk20 » 23 sie 2007, o 11:11

moze tak, niech
\(\displaystyle{ a_n = \frac{\sin (\sqrt{n})}{n} \\}\)
(1) zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \bigwedge n N, \ \sqrt n k \pi + \frac{\pi}{2}}\) czyli
\(\displaystyle{ a_i < \frac{1}{i}, \ \ i\in N , \ wiec \\
\bigvee b_i \in R, \ a_i = \frac{1}{i^{b_i}}, \ b_i>1 \\}\)

niech
\(\displaystyle{ b_k = min. \ b_i, i N \\}\)
wtedy
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{\infty} a_n < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{b_k}}, \ \ b_k > 1 \\}\)
Ostatnio zmieniony 24 sie 2007, o 00:32 przez przemk20, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6503
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: mol_ksiazkowy » 23 sie 2007, o 14:57

a co gdy....bk=1 ?

zuza2006
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 18 sie 2007, o 17:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Zbadaj zbieżność szeregu.

Post autor: zuza2006 » 23 sie 2007, o 15:30

przemk20 pisze: \(\displaystyle{ \bigvee b_i \in R, \ a_i = \frac{1}{i^{b_i}}, \ b_i>1}\)
a skąd to wiadomo :?:

i że akurat wtedy \(\displaystyle{ b_i>1}\)



[ Dodano: 23 Sierpnia 2007, 15:53 ]
sorry za dublowanie swojego posta...
Drizzt pisze:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}}\)
Bezwzględnie to on na pewno nie jest zbieżny.
Tutaj też można by moduł licznika oszacować przez jeden. I wtedy taki harmoniczny nigdy nie będzie zbieżny.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}\) jest zbieżny bezwzględnie bo

\(\displaystyle{ 0}\)

ODPOWIEDZ