Matematyka.pl

Jakie założenia trzeba przyjąć dla funkcji \(\displaystyle{ f:\left\langle a;b\right\rangle \rightarrow R}\) aby zachodziło \(\displaystyle{ \frac{d}{dx} \int_{b}^{a} f(t)dt=f(x)\ dla\ x \in \left( a;b\right)}\) ?

Jeżeli tam nie ma błędu, to \(\displaystyle{ f}\) musiałaby być stale równa zero. Wyrażenie pod pochodną nie zależy od \(\displaystyle{ x}\), to jest liczba, więc pochodna jest równa zero.

A jeśli ma zachodzić

\(\displaystyle{ \frac{\dd }{\dd x} \int \limits_a^x f(t) \, \dd t = f(x),}\)

to wystarczy, żeby \(\displaystyle{ f}\) była ciągła. Nie jest to jednak warunek konieczny, bo na przykład funkcja

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x} & \text{dla } x \neq 0 \\ 0 & \text{dla } x = 0 \end{cases}}\)

nie jest ciągła, a wzór dla niej zachodzi. Z warunków koniecznych można wymienić:

\(\displaystyle{ \bullet}\) całkowalność, bo inaczej lewa strona nie ma sensu,
\(\displaystyle{ \bullet}\) zbiór punktów nieciągłości miary Lebesgue'a zero, co jest konsekwencją poprzedniej własności,
\(\displaystyle{ \bullet}\) własność Darboux, bo pochodna każdej funkcji różniczkowalnej ma własność Darboux.