Kilka całek nieoznaczonych

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
koqwax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 sie 2007, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 12 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: koqwax » 18 sie 2007, o 12:24

Mam problem z następującymi całkami

1. \(\displaystyle{ \int \sqrt{3-x^{2}} dx}\)

i

2. \(\displaystyle{ \int e^{x}cos{x} dx}\)

oraz domyślam się że analogiczne do nr 2

3. \(\displaystyle{ \int e^{-2x}sin{5x} dx}\)

Poprawiłem temat. luka52
Ostatnio zmieniony 20 sie 2007, o 17:56 przez koqwax, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: Emiel Regis » 18 sie 2007, o 12:33

1. \(\displaystyle{ \int \sqrt{3-x^{2}} dx}\)

Podstaw:
\(\displaystyle{ 3t^2=x^2}\)
nastepnie wyciagnij 3 przed pierwiastek oraz kolejne podstawienie:
\(\displaystyle{ t^2=sin^2s}\)

2. \(\displaystyle{ \int e^{x}cos{x} dx}\)

Dwa razy przez częsci, a następnie połącz pierwszą całkę z ostatnią równaniem i wylicz szukaną całkę.

koqwax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 sie 2007, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 12 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: koqwax » 18 sie 2007, o 15:10

Dzięki, w życiu bym nie wpadł na takie w podstawienia w punkcie 1, a nawet gdyby, to jest tak długie, że bym 4 razy zwątpił zanim bym doliczył do końca.

Punkt 2. mnie zadziwił , na ćwiczeniach miesiąc całkowaliśmy a nikt takiego sposobu nam nie pokazał

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: soku11 » 18 sie 2007, o 20:57

3. Rowniez przez czesci:

\(\displaystyle{ u=e^{-2x}\qquad dv=sin5xdx\\
du=-2e^{-2x}dx\qquad v=-\frac{1}{5}cos5x\\
-\frac{e^{-2x}cos5x}{5}-\int -2e^{-2x}\cdot (-\frac{1}{5}cos5x) dx=
-\frac{e^{-2x}cos5x}{5}-\frac{2}{5}\int e^{-2x}cos5x dx\\
u=e^{-2x}\qquad dv=cos5xdx\\
du=-2e^{-2x}dx\qquad v=\frac{1}{5}sin5x\\
\\
-\frac{e^{-2x}cos5x}{5}-\frac{2}{5}\int e^{-2x}cos5x dx=
-\frac{e^{-2x}cos5x}{5}-\frac{2}{5}(\frac{e^{-2x}sin5x}{5}-\int
-2e^{-2x}\cdot(\frac{1}{5}sin5x)dx)=
-\frac{e^{-2x}cos5x}{5}-\frac{2}{5}(\frac{e^{-2x}sin5x}{5}+
\frac{2}{5}\int e^{-2x}sin5x)dx)=
-\frac{e^{-2x}cos5x}{5}-2\frac{e^{-2x}sin5x}{25}-
\frac{4}{25}\int e^{-2x}sin5xdx}\)


Teraz robimy rownanie i przerzucamy:
\(\displaystyle{ \int e^{-2x}sin{5x} dx = -\frac{e^{-2x}cos5x}{5}-2\frac{e^{-2x}sin5x}{25}-
\frac{4}{25}\int e^{-2x}sin5x)dx\\
t e^{-2x}sin{5x} dx+ \frac{4}{25}\int e^{-2x}sin5x)dx= -\frac{e^{-2x}cos5x}{5}-2\frac{e^{-2x}sin5x}{25}\\
\frac{29}{25}\int e^{-2x}sin5xdx= -\frac{5e^{-2x}cos5x}{25}-\frac{2e^{-2x}sin5x}{25}\\
t e^{-2x}sin5xdx= -\frac{5e^{-2x}cos5x}{29}-\frac{2e^{-2x}sin5x}{29}\\}\)



Powinno byc wszystko OK. POZDRO

koqwax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 sie 2007, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 12 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: koqwax » 20 sie 2007, o 12:10

Dziękuje wszystkim za pomoc, okazała sie niezwykle przydatna. Niestety podczas dalszych batalli z całkami natknąłem się na kolejnego silniejszego ode mnie przeciwnika Oto on


\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(cos{x})^{4}(sin{x})^{2}}dx}\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: Emiel Regis » 20 sie 2007, o 12:36

Ja proponuje taką metodą:
\(\displaystyle{ t=tgx}\)
\(\displaystyle{ x=arctgt}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{1+t^2}}\)
\(\displaystyle{ sin^2x=\frac{t^2}{t^2+1}}\)
\(\displaystyle{ cos^2x=\frac{1}{t^2+1}}\)
Podstaw to wszystko i wychodzi przyzwoita całka wymierna.
Mi wyszło po kilku przekształceniach:
\(\displaystyle{ \int \frac{(t^2+1)^2}{t^2}dt}\)
To oczywiscie sie dzieli i masz prawie że wielomian do scałkowania.
Być moze da się jakos prosciej ale to jest prawie że uniwersalna metoda jesli jest sin i cos w jakiejs potędze parzystej. Wiec warto ją znać.

koqwax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 sie 2007, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 12 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: koqwax » 20 sie 2007, o 18:09

Właśnie przygotowywuję się do egzaminu z matematyki we wrześniu, dlatego mam tyle wątpliwości. Umieszczam tutaj tylko te zagadnienia, nad którymi myślałem przez dłuższy czas, który niestety okazał się bezowocny. Z góry dziękuje za pomoc.

A oto kolejna niepokorna całka

\(\displaystyle{ \int \sqrt{-x^{2}+x+1} dx}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: luka52 » 20 sie 2007, o 18:25

Trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem sprowadź do postaci kanonicznej, a następnie użyj właściwego podstawienia http://pl.wikipedia.org/wiki/Całkowanie ... ometryczne

koqwax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 sie 2007, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 12 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: koqwax » 20 sie 2007, o 18:43

Trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem sprowadź do postaci kanonicznej, a następnie użyj właściwego podstawienia (link)
Przekształacam i mam

\(\displaystyle{ \int \sqrt{-(x-1)^{2}+2} dx}\)

Masz na myśli podstawienie trygonometryczne?

Potrafię rozwiązać całki typu

\(\displaystyle{ \int \sqrt{x^{2}+x+1} dx}\)

kiedy mamy \(\displaystyle{ + x^{2}}\), ale nie wiem co robić kiedy pojawia się minus.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: luka52 » 20 sie 2007, o 18:46

W linku, który Ci podałem jest wszystko wyjaśnione...

greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: greey10 » 21 sie 2007, o 12:06

luka52 w 3 podstawieniu eulera nie wiem kopletnie skad sie bierze t i co daje dalej \(\displaystyle{ t^{2}}\) sory jezeli moje pytania wydaja sie smieszne

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: luka52 » 21 sie 2007, o 13:05

Ale chodzi o podstawienie trygonometryczne (co widać po nazwie linku), być może przeglądarka źle wyświetliła stronę.

W każdym razie, należy podstawić \(\displaystyle{ \sqrt{2} \sin t = (x-1) \, \, \, \mbox{lub} \, \, \, \sqrt{2} \cos t = (x-1)}\)

greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Kilka całek nieoznaczonych

Post autor: greey10 » 21 sie 2007, o 13:14

acha no wlasnie czegos mi brakowalo

ODPOWIEDZ