Trzy całki nieoznaczone

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
szefu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 sie 2007, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Konin
Podziękował: 4 razy

Trzy całki nieoznaczone

Post autor: szefu » 17 sie 2007, o 16:48

Witam wszystkich!
Mam do policzenia następujące całki:
1) \(\displaystyle{ \int\ln(cosx)dx}\)
2) \(\displaystyle{ \int\frac{1+cos^{2}x}{1-2cosx}dx}\)
3) \(\displaystyle{ \int arctgx\cdot cosx dx}\)
Może ktoś byłby w stanie pomóc?
Z góry dziękuję.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Trzy całki nieoznaczone

Post autor: Emiel Regis » 17 sie 2007, o 21:02

Trzecia to zdaje sie nieelementarna bo nawet Maple mi sie buntuje...

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Trzy całki nieoznaczone

Post autor: soku11 » 17 sie 2007, o 21:51

2) Nie wiem jak do konca zrobic, ale zaprezentuje moj sposob - moze cie naprowadzi na ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ \int\frac{1+cos^{2}x}{1-2cosx}dx =
-\frac{1}{2}\int\frac{cos^{2}x+1}{cosx-\frac{1}{2}}dx =
-\frac{1}{2}\int\frac{cosx(cosx-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}cosx+1} {cosx-\frac{1}{2}}dx =
-\frac{1}{2}\int cosx dx-\frac{1}{4}\int \frac{cosx+2}{cosx-\frac{1}{2}}dx=
-\frac{1}{2}sinx-\frac{1}{4}\int \frac{cosx-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}} {cosx-\frac{1}{2}}dx=
-\frac{1}{2}sinx-\frac{1}{4}\int (1+\frac{5}{2}\frac{1}{cosx-\frac{1}{2}})=
-\frac{1}{2}sinx-\frac{1}{4}\int dx-\frac{5}{8}\int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}=
-\frac{1}{2}sinx-\frac{x}{4}-\frac{5}{8}\int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}=??}\)


Jak to ostatnie zrobic to nie wiem :/ Moze ktos wspomoze??
POZDRO

szefu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 sie 2007, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Konin
Podziękował: 4 razy

Trzy całki nieoznaczone

Post autor: szefu » 18 sie 2007, o 10:21

Dzięki bardzo soku11 na naprowadzenie mnie na 2) całkę. Dalej z całką \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}}\) poradziłem sobie następująco:
\(\displaystyle{ cosx-\frac{1}{2}=t}\)
\(\displaystyle{ cosx=t+\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=arccos(t+\frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{-dt}{\sqrt{1-(t+\frac{1}{2})^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}=\int\frac{-dt}{t\sqrt{1-(t+\frac{1}{2})^2}}=\int\frac{-dt}{t\sqrt{-t^2-t+\frac{3}{4}}}}\)
Dalej podstawienie Eulera:
\(\displaystyle{ \sqrt{-t^2-t+\frac{3}{4}}=tu+\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Po obustronnym podniesieniu do kwadratu wyznaczam \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ t=\frac{-\sqrt{3}u-1}{u^2+1}}\),

różniczkuję:

\(\displaystyle{ dt=\frac{\sqrt{3}u^2+2u-\sqrt{3}}{(u^2+1)^2}du}\)

i wstawiam do całki:

\(\displaystyle{ \int\frac{-\sqrt{3}u^2-2u+\sqrt{3}}{(u^2+1)^2(\frac{-\sqrt{3}u-1}{u^2+1}u+\frac{\sqrt{3}}{2})\frac{-\sqrt{3}u-1}{u^2+1}}du=\int\frac{-\sqrt{3}u^2-2u+\sqrt{3}}{(u^2+1)(\frac{-\sqrt{3}u^2-u}{u^2+1}+\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}u-1)}du=}\)

\(\displaystyle{ =\int\frac{-\sqrt{3}u^2-2u+\sqrt{3}}{(-\frac{\sqrt{3}}{2}u^2-u+\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}u-1)}du=-2\int\frac{du}{\sqrt{3}u+1}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}ln|u+\frac{\sqrt{3}}{3}|+c}\)

\(\displaystyle{ u=\frac{\sqrt{-t^2-t+\frac{3}{4}}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{t}=\frac{sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}}{cosx-\frac{1}{2}}}\)

Wracając do podstawienia, otrzymuję ostatecznie:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}ln|\frac{sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}}{cosx-\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{3}}{3}|+c}\)

Teraz wpadłem, że całkę \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}}\) można też obliczyć stosując podstawienie uniwersalne \(\displaystyle{ tg\frac{x}{2}=t}\). Chyba mniej liczenia, chociaż będzie trzeba pod koniec rozłożyć wyrażenie wymierne na ułamki proste, więc łatwość tej drugiej metody jest dyskusyjna.

Całka 3) faktycznie może być nieelementarna. Myślę jeszcze nad 1).
Może ktoś ma pomysł?
Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Trzy całki nieoznaczone

Post autor: luka52 » 18 sie 2007, o 11:32

W 1 i 3 wychodzą funkcje zespolone.
Np. 1:
\(\displaystyle{ I = \frac{\imath x^2}{2} - x \ln \left( 1 + e^{2 \imath x} \right) + x \ln \cos x + \frac{1}{2} \imath \mbox{Li}_2 \left( -e^{2 \imath x} \right) + C}\)

ODPOWIEDZ