Pole trójkąta prostokątnego

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Pole trójkąta prostokątnego

Post autor: Justka » 17 sie 2007, o 15:47

Ostatnio robiłam takie oto zadanie :

W trójkacie prostokątnym okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) jest styczny do obu przyprostokątnych, a jego środek leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\). Oblicz pole tego trójkąta.

Nie mam odpowiedzi do tego zadania, dlatego chciałabym porównać
mój wynik z waszym rozwiązaniem .
Mi wyszło: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}mn+r^2}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Pole trójkąta prostokątnego

Post autor: luka52 » 17 sie 2007, o 16:04

Mi zaś trochę inaczej wychodzi.

Zatem cały trójkąt możemy podzielić na:
1. kwadrat o boku r
2. trójkąt prostokątny o przyprostokątnej r i przeciwprostokątnej m
3. trójkąt prostokątny o przyprostokątnej r i przeciwprostokątnej n

Pole całego trójkąta wtedy wyniesie:
\(\displaystyle{ S = r^2 + \frac{1}{2}r \sqrt{m^2 - r^2} + \frac{1}{2}r \sqrt{n^2 - r^2}}\)

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Pole trójkąta prostokątnego

Post autor: Justka » 17 sie 2007, o 16:27

Też doszłam do takiego rozwiązania, lecz zaczęłam kombinowac jak usunąć te pierwiastki.
A więc podstawiając wyliczone boki do tw Pitagorasa otrzymałam takie coś:
\(\displaystyle{ (r+\sqrt{m^2-r^2})^2+(r+\sqrt{n^2-r^2})^=(m+n)^2}\) z tego otrzymałam taką równość: \(\displaystyle{ r(\sqrt{m^2-r^2}+\sqrt{n^2-r^2})=mn}\) i podstawiłam do rozwiązania które podałeś. A więc wyszło \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}mn+r^2}\)
I teraz pytanie. Czy mogłam tak zrobić? Czy jednak lepiej pozostawić rozwiązanie z pierwiaskami?[/quote]

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Pole trójkąta prostokątnego

Post autor: luka52 » 17 sie 2007, o 16:53

W sumie masz rację Bardzo fajnie się pierwiastki "zamieniają".
BTW. Ale ja jestem leniwy

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Pole trójkąta prostokątnego

Post autor: Justka » 17 sie 2007, o 18:06

Wielkie dzięki Teraz wiem, że jednak dobrze kombinuje

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Pole trójkąta prostokątnego

Post autor: Grzegorz t » 20 sie 2007, o 11:45

Poprawna odpowiedź
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot(\frac{mr}{n}+r)(r+\frac{nr}{m})}\)
luka, środek okręgu dzieli przeciwprostokątną w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\) to nie znaczy wcale,że przeciwprostokątna mniejszego trójkąta prostokątnego ma długość \(\displaystyle{ m}\), ale \(\displaystyle{ mx}\), a przeciwprostokątna drugiego trójkąta prostokątnego ma długość \(\displaystyle{ nx}\) zatem cała przeciwprostokątna trójkata na \(\displaystyle{ (n+m)x}\)
W zadaniu skorzystać z podobieństwa odpowiednich trójkątów
pozdrawiam justkę

ODPOWIEDZ