zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
jagoda18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 mar 2007, o 19:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 1 raz

zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a

Post autor: jagoda18 » 16 sie 2007, o 20:27

Moze mi ktos wypisac jakie sa zbiory mierzalne? albo wskazac dobra stronke odnosnie przykladow:)
odcinek [2,4] ma miare 2 a odcinek (2,3)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a

Post autor: Emiel Regis » 16 sie 2007, o 21:08

Miara Lebesgue'a jest jedną z najbardziej naturalnych miar, w większości przypadkow odpowiada intuicji.
Link:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Miara_Lebesgue%27a

Miara Twojego odcinka:
\(\displaystyle{ \lambda ((2,3)) = \lambda ([2,3])=1}\)
(ponieważ miara punktu wynosi zero, a nawet przeliczalnej ilości punktów, dla przykładu miara zbioru liczb wymiernych wynosi zero)

Co do mierzalności zbiorów to myśle ze moge śmiało powiedziec że każdy zbiór ktory wymyślisz będzie mierzalny...
Jeśli chcesz niemierzalny to np zbiór Vitalego.

Awatar użytkownika
Nty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 maja 2007, o 23:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Pomógł: 24 razy

zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a

Post autor: Nty » 23 sie 2007, o 15:30

Może dopiszę kilka cennych uwag,
\(\displaystyle{ \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n) \subseteq \mathcal{L}_n}\)
słownie, sigma-ciało wszytskich zbiorów borelowskich zawarte jest
w sigma-ciele zbiorów mierzalnych, \(\displaystyle{ \left( \mathcal{L}_n = \left\{ A \subset \mathbb{R}^n: \bigwedge_{Z \subset \mathbb{R}^n} l_n^{\star}(Z) =l_n^{\star}(Z \cap A) +l_n^{\star}(Z \setminus A) \right\}\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ l_n^{\star}}\) oznacza n-wymiarową zewnętrzną miarę Lebesgue'a.
Możemy również sformułować warunki równoważne mierzalności zbioru :

Niech \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{R}^n}\), następujące warunki są równoważne:
\(\displaystyle{ \mbox{a) } A \in \mathcal{L}_n \\
\mbox{b } \bigwedge_{\varepsilon>0} \bigvee_{G \subset \mathbb{R}^n} \left[ G= \mbox{Int}G \quad \wedge \quad A \subset G \quad \wedge \quad l_n^{\star}(G \setminus A)0} \bigvee_{F \subset \mathbb{R}^n} \left[ F= \mbox{cl}F \quad \wedge \quad F \subset A \quad \wedge \quad l_n^{\star}(A \setminus F)}\)


Co do zbiorów niemierzalnych nie potrafimy ich skonstruować bez użycia pewnika wyboru, a ich istnienie gwarantuje nam BPI (Na każdej algebrze Boole'a istnieje ultrafiltr).

angelad16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 19 lis 2014, o 18:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a

Post autor: angelad16 » 1 gru 2014, o 21:09

a jak pokazać,że warunki a) i e) są równoważne?

nie mam pojęcia jak zacząć to robić.

ODPOWIEDZ