Matematyka.pl

Witam!

Mam takie zadanie- Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \mu = 1}\). Obliczyć prawdopodobieństwo

P \(\displaystyle{ (1 \le X <4 )}\)

Czy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P (1 < X <4 )}\) różni się od \(\displaystyle{ P (1 \le X <4 )}\)?

czyli w tym zadaniu podstawiam do wzoru \(\displaystyle{ f(k,\lambda)= \frac{\lambda ^{k}e ^{-\lambda} }{k!}}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda=\mu=1}\), a nasze \(\displaystyle{ k}\) to skrajne przypadki prawdopodobieństwa, tak? I żeby obliczyć to \(\displaystyle{ 1 \le X < 4}\) muszę odjąć od \(\displaystyle{ f(3,1)- f(1,1)}\), a różnica będzie taka, że w pierwszym przypadku liczymy \(\displaystyle{ f(3,1)-f(2,1)}\), a w drugim przypadku liczymy \(\displaystyle{ f(3,1)-f(1,1)}\), dobrze to robię?

Czy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P (1 < X <4 )}\) różni się od\(\displaystyle{ P (1 \le X <4 )}\)?

Tak, gdyż zmienna losowa o rozkładzie Poissona z niezerowym prawdopodobieństwem przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\). Gdybyś np. miał rozkład ciągły, to nie robiłoby różnicy, czy nierówności są ostre, czy nie. Ale tu robi.

I żeby obliczyć to \(\displaystyle{ 1 \le X < 4}\) muszę odjąć od \(\displaystyle{ f(3,1)- f(1,1)}\)

Absolutnie nie. Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\)
mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\) (z zerem). A Ty tak to traktujesz, jakby to były wartości dystrybuanty, czyli źle.
Powinieneś obliczyć \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=1)+\mathbf{P}(X=2)+\mathbf{P}(X=3)}\).

aha... Czyli to się liczy sumę z każdej liczby naturalnej znajdującej się w przedziale. Dzięki!