Strona 1 z 2
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 17:46
autor: liluse
Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2 dla x \in \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},... \right\} \\ 1 dla x \in R \setminus \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},... \right\} \end{cases}}\) nie ma granicy w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\).
Wiem jak się wykazuje, że granica nie istnieje, ale do tej pory robiłam to tylko na wzorach.
Może mi ktoś podpowiedzieć od czego tu zacząć?
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 17:55
autor: Premislav
Co mówi definicja Heinego granicy funkcji? Jeśli sobie na to odpowiesz, to weź np. ciągi
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n}, b_{n}= \frac{\pi}{n}}\) i policz, jakie są granice tych ciągów przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) oraz granice \(\displaystyle{ f(a_{n}), f(b_{n})}\).
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 18:53
autor: liluse
Nie rozumiem, oba te ciągi dążą do zera (co się zgadza) , ale dalej nie wiem jak wyznaczyć granice funkcji.
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 19:01
autor: Premislav
Prosiłem, żebyś wyliczyła jeszcze \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(a_{n})}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f(b_{n})}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}}\) dla żadnego \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\) nie będzie odwrotnością liczby naturalnej (ech, to podwójne przeczenie w języku polskim...). \(\displaystyle{ f(a_{n})}\) i \(\displaystyle{ f(b_{n})}\) są stałe (popatrz na definicję \(\displaystyle{ f}\)).
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 19:10
autor: liluse
a czy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f\left( a_{n} \right)}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f\left( b_{n} \right)}\) istnieje? Mam na myśli to, że wartości to na zmianę 1 i 2, więc chyba nie dążą do niczego .
Edit:
Chyba, że bierzemy pod uwagę tylko duże n, wtedy granicą byłoby 1
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 19:32
autor: Premislav
Raczej błąd (albo się nie rozumiemy).
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(a_{n})=\text{ jedyna słuszna wartość, którą f przyjmuje dla argumentów postaci 1/n }}\). Podobnie
\(\displaystyle{ f(b_{n})}\) jest stałe, więc
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(b_{n})=...}\). Za to nie istnieje granica
\(\displaystyle{ f}\) w zerze, ale to wynika z definicji Heinego granicy funkcji, a konkretnie istnienie takich ciągów, jak wskazane przeczy istnieniu granicy.
Chyba, że bierzemy pod uwagę tylko duże n, wtedy granicą byłoby \(\displaystyle{ 1}\)
Możesz wytłumaczyć, co rozumiesz przez to zdanie? W każdym prawostronnym otoczeniu zera znajdziesz liczbę postaci
\(\displaystyle{ \frac 1 n}\) dla pewnego
\(\displaystyle{ n \in \NN}\), a nawet nieskończenie wiele liczb tej postaci.
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 19:34
autor: a4karo
Zadanie domowe: napisz 10 pierwszych wyrazó ciągu \(\displaystyle{ f(a_n)}\) i wywnioskuj, czy będzie on zbieżny. Potem zrób to samo z ciągiem \(\displaystyle{ f(b_n)}\)
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 19:47
autor: liluse
Premislav pisze:Raczej błąd (albo się nie rozumiemy). \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(a_{n})=\text{ jedyna słuszna wartość, którą f przyjmuje dla argumentów postaci 1/n }}\). Podobnie \(\displaystyle{ f(b_{n})}\) jest stałe, więc
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(b_{n})=...}\). Za to nie istnieje granica \(\displaystyle{ f}\) w zerze, ale to wynika z definicji Heinego granicy funkcji, a konkretnie istnienie takich ciągów, jak wskazane przeczy istnieniu granicy.
Możesz napisać to samo tylko mniej "matematycznie'? Tzn. nie do końca rozumiem o co tu chodzi, dopiero dziś zaczęliśmy granice funkcji.
liluse pisze:
Chyba, że bierzemy pod uwagę tylko duże n, wtedy granicą byłoby 1
Miałam na myśli, to ,że skoro n dąży do nieskończoności, to interesują nas bardzo duże wartości, funkcja przyjmuje wartość 1 tylko dla przedziału (0,1>
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 20:03
autor: Premislav
No to na wstępie przeczytaj
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_funkcji
a jeszcze lepiej weź porządną książkę (np. Fichtenholza, Lei albo co) i tam przeczytaj. Albo zerknij do notatek, jeśli je masz. Czy znasz definicję granicy funkcji wg Heinego?
Rozwiązanie tu proponowane polega na tym, że bierzemy dwa ciągi argumentów zbieżne do zera, dla których
\(\displaystyle{ f}\) ma różne granice - przeczy to zatem warunkowi Heinego istnienia granicy funkcji.
Tj. pokazujemy, że dowolnie blisko zera znajdziemy punkty, w których funkcja przyjmuje wartość
\(\displaystyle{ 1}\), a także punkty, w których przyjmuje ona wartość
\(\displaystyle{ 2}\). No to granica nie istnieje.
Miałam na myśli, to ,że skoro n dąży do nieskończoności, to interesują nas bardzo duże wartości, funkcja przyjmuje wartość 1 tylko dla przedziału (0,1>
Niestety mylisz chyba zmienność
\(\displaystyle{ x}\) jako argumentu funkcji
\(\displaystyle{ f}\) ze zmiennością
\(\displaystyle{ n}\) jako indeksu ciągu
\(\displaystyle{ (a_{n}),}\) będącego pewnym szczególnym ciągiem argumentów funkcji
\(\displaystyle{ f.}\). Nic to, że
\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), skoro nie rozważasz
\(\displaystyle{ f(n)}\), tylko
\(\displaystyle{ f(a_{n})}\). A akurat, jak sama pisałaś,
\(\displaystyle{ a_{n}}\) zbiega do zera.
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 20:27
autor: liluse
Definicje znam, korzystaliśmy z tego na lekcji. To, że trzeba udowodnić, że blisko zera znajdą się dwie różne wartości też wiem, to również robiliśmy dla lekcji.
Rzecz w tym, że podstawialiśmy \(\displaystyle{ a_{n}}\) w miejsce x to wzoru funkcji, a tutaj nie mam gdzie tego wsadzić.
Mam potraktować wzór funkcji jako dwa osobne wzory i do jednego podstawić \(\displaystyle{ a_{n}}\), a do drugiego \(\displaystyle{ b_{n}}\) ?
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 20:40
autor: M Ciesielski
No tak. Ile wynosi \(\displaystyle{ f(a_1)}\) a ile \(\displaystyle{ f(b_1)}\)? Podpowiem, że kolejne pytanie będzie o wartość \(\displaystyle{ f(a_2)}\) i \(\displaystyle{ f(b_2)}\).
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 20:44
autor: liluse
M Ciesielski pisze:No tak. Ile wynosi \(\displaystyle{ f(a_1)}\) a ile \(\displaystyle{ f(b_1)}\)? Podpowiem, że kolejne pytanie będzie o wartość \(\displaystyle{ f(a_2)}\) i \(\displaystyle{ f(b_2)}\).
\(\displaystyle{ f(a_1)}\) = 2
\(\displaystyle{ f(b_1)}\) = 1
Jeżeli dobrze to zrozumiałam
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 20:46
autor: M Ciesielski
Dokładnie, a co z \(\displaystyle{ f(a_2)}\) i \(\displaystyle{ f(b_2)}\)? I w końcu co z \(\displaystyle{ f(a_n)}\) i \(\displaystyle{ f(b_n)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)?
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 20:48
autor: liluse
Będą takie same, więc granice też będą różne
Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie
: 21 sty 2016, o 20:52
autor: M Ciesielski
Jeżeli chodzi Ci o to, że \(\displaystyle{ f(a_n) = 2}\) i \(\displaystyle{ f(b_n) = 1}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), więc \(\displaystyle{ 2 = \lim_{n\to\infty} f(a_n) \neq \lim_{n\to\infty} f(b_n) = 1}\), to ok.