Równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
NuLLsKiLL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 16 sie 2007, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nicość
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie trygonometryczne

Post autor: NuLLsKiLL » 16 sie 2007, o 10:13

Proszę o pomoc w następującym zadaniu (a właściwie o sposób rozwiązania go):
Dane jest równanie: (2sinα - 1)x� - 2x + sinα = 0, gdzie α należy do . Dla jakich wartości α suma odwrotności pierwiastków jest równa 4cosα?
---
Oznaczenie (nie wiem czy dobre):
α - alfa
Π - pi
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: setch » 16 sie 2007, o 10:35

\(\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4\cos \alpha\\
\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=4 \cos \alpha}\)

W mianowniku i liczniku masz wzorY vietea. Ponadto aby zastosować te wzory to trzeba policzyć, dla jakich wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzą te zależności \(\displaystyle{ 2\sin \alpha -1 \neq 0 \wedge \Delta >0}\). Na koniec wyciągnij część wspólną ze wszystkich trzechrównań.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: scyth » 16 sie 2007, o 11:04

Zakładamy, że \(\displaystyle{ \alpha \ne \frac{\pi}{6}}\) (niezerowywspółczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\)). I liczymy deltę:
\(\displaystyle{ \Delta=4-4 sin\alpha (2sin\alpha -1)=4(2sin\alpha+1)(1-sin\alpha)=4\psi}\)
Ponieważ musi być \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) więc również \(\displaystyle{ \alpha \ne \frac{\pi}{2}}\).
Możemy już liczyć:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 4 cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{2-2{\sqrt{\psi}}}{2(2sin\alpha -1)}} + \frac{1}{\frac{2+2{\sqrt{\psi}}}{2(2sin\alpha -1)}} = 4 cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{2sin\alpha -1}{1-\sqrt{\psi}} + \frac{2sin\alpha -1}{1+\sqrt{\psi}} = 4 cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{(2sin\alpha -1)(1+\sqrt{\psi})}{(1-\sqrt{\psi})(1+\sqrt{\psi})} + \frac{(2sin\alpha -1)(1-\sqrt{\psi})}{(1-\sqrt{\psi})(1+\sqrt{\psi})} = 4 cos }\)

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ 4 cos = \frac{2(2 sin\alpha -1)}{1 - \psi} = \frac{2(2 sin\alpha -1)}{1 - (2sin\alpha+1)(1-sin\alpha)} = \frac{2(2 sin\alpha -1)}{1 - 1 - sin\alpha + 2sin^2\alpha} = \frac{2(2 sin\alpha -1)}{sin\alpha (2sin\alpha-1)} = \frac{2}{sin\alpha}}\)

A zatem szukamy \(\displaystyle{ \alpha}\) takiego, że:
\(\displaystyle{ 2 sin\alpha cos\alpha = 1}\), czyli \(\displaystyle{ sin 2\alpha = 1 =\frac{\pi}{4}}\).

ODPOWIEDZ