Ekstrema lokalne funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Rojek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 22 lip 2007, o 20:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Ekstrema lokalne funkcji

Post autor: Rojek » 15 sie 2007, o 17:11

Witam!
Mam wielka prośbę czy mógłby ktoś mi pomoc?mam poprawkę z egzaminu i mi wychodzą głupie błędy czy mógłby ktoś z was krok po kroku rozwiązać to zadanie wtedy doszukałbym sie błędu, pewnie w układzie równań sie walnąłem także prosiłbym o rozwiązanie układu równań.Z góry wielkie dzięki za pomoc


\(\displaystyle{ f(x,y)=-x^{3}-3xy^{2}+15x-12y-3}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Ekstrema lokalne funkcji

Post autor: luka52 » 15 sie 2007, o 19:18

Obliczamy na początek:
\(\displaystyle{ f_x'(x,y) = -3x^2 - 3y^2 + 15, \quad f_y'(x,y) = - 6 xy - 12\\
f_{xx}''(x,y) = - 6x, \quad f_{yy}''(x,y) = -6x, \quad f_{xy}''(x,y) = -6y}\)

Następnie sprawdzamy kiedy odpowiednie pochodne się zerują:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f_x' = 0 \iff -3x^2 - 3y^2 + 15 = 0 \\ f_y' = 0 \iff -6xy - 12 = 0 \end{cases}}\)
Aby rozwiązać ten układ równań można np. z drugiego równania wyliczyć x (lub y) i podstawić następnie do pierwszego. W każdym razie rozwiązania to:
(x,y) = (1,-2) lub (2,-1) lub (-1,2) lub (-2,1)

Teraz należy obliczyć wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ \delta = ft( f_{xy}''(x_0, y_0) \right)^2 - f_{xx}''(x_0, y_0) f_{yy}''(x_0, y_0)}\)
\(\displaystyle{ \delta < 0}\) zachodzi jedynie dla (x,y) = (2,-1) lub (-2,1)
Teraz wystarczy sprawdzić czy w tych punktach funkcja osiąga maksimum czy też minimum.

ODPOWIEDZ