[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

Post autor: Piotr Rutkowski » 15 sie 2007, o 16:26

Obliczyć \(\displaystyle{ f'(1)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{x^{...^{x}}}}\) gdzie x występuje n razy
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

Post autor: przemk20 » 15 sie 2007, o 16:39

\(\displaystyle{ \ln f_n (x) = f_{n-1} (x) \ln x \\
\frac{f'_n(x)}{ f_n(x)}= \frac{f_{n-1}(x)}{x} + f'_{n-1}(x) \ln x \\
f'(1) = 1}\)


greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

Post autor: greey10 » 15 sie 2007, o 16:42

moze tak:
\(\displaystyle{ g(x)=x^{x^{...}^{x}}}\) gdzie x jest n-1
nastepnie
\(\displaystyle{ f'(x)=(x^{g(x)})'=(e^{g(x)\ln{x}})'=x^{g(x)}(g'(x)\ln{x}+\frac{g(x)}{x})}\)
podstawiamy jedynke i sie nam upraszcza mamy
\(\displaystyle{ f'(1)=1(0+1)=1}\)


/// byles szybciej xD

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7089
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2625 razy
Pomógł: 687 razy

[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

Post autor: mol_ksiazkowy » 15 sie 2007, o 16:43

:arrow: \(\displaystyle{ f^\prime(a)=}\)?
\(\displaystyle{ a>0}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

Post autor: max » 15 sie 2007, o 18:55

Jeśli:
\(\displaystyle{ \forall x\in (0, + ) \quad
\begin{cases}f_{0}(x) = 1\\
f_{n}(x) = x^{f_{n - 1}(x)}, \ n = 1, 2, \ldots \end{cases}}\)

To:
\(\displaystyle{ f'_{n}(x) = \sum_{j = 1}^{n}\frac{f_{n}(x) f_{n - 1}(x)\cdot \ldots f_{n - j}(x)}{x}\cdot \ln^{j - 1}x}\)
(indukcyjnie powinno wyjść)
Postać równie rozlazła jak rekurencyjna, ale nic lepszego mi teraz do głowy nie przychodzi..

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7089
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2625 razy
Pomógł: 687 razy

[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

Post autor: mol_ksiazkowy » 15 sie 2007, o 19:38

też ladnie, a moznanby chyba podjąc rekurencje jak ja to przemk20 napisał i sprobowac rozwiklac, tj znalezc wzor na an, pobawic sie z ciagiem.... byc moze wyjdzie nawet....a tak wogole zadanko jest całkiem fajne i schludne...tj tak zrobic

\(\displaystyle{ f_n^\prime(a)=a_n}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

Post autor: max » 15 sie 2007, o 20:04

Ta suma wzięła się bezpośrednio z tej rekurencji, niestety zaraz wyjeżdżam i przez jakiś czas nie będę miał dostępu do komputera, więc nie za bardzo mogę się teraz temu przyjrzeć... (może w pociągu cuś wymyślę )

ODPOWIEDZ