Matematyka.pl

Mamy równanie ogólne prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0 , C=-Ax_{1}-By_{1}}\). Zacząłem sie uczyć geometrii analitycznej. Wydaje się ona prosta gdyby nie to że nie mam pojęcia jak udowodnić że wektor \(\displaystyle{ u=[A.B]}\) jest prostopadły do powyższej prostej. Oraz że wektor \(\displaystyle{ y=[-B,-A]}\) jest prostopadły do wektora po lewej.
O ile w drugim przypadku jestem w stanie skorzystać z iloczynu skalarnego i cosinusa kąta między nimi.

To w pierwszym nie mam pojęcia jak się za to zabrać, czy mógłby ktoś pokierować, szkic dowodu bądź ogólny tok myślenia mi nakreślić. Proszę o pomoc

Prosta prostopadła do danej ma przykładowo współczynniki kolejno B, -A, C' (to chyba wiesz dlaczego?). Obierz sobie na niej jakieś dwa punkty, np \(\displaystyle{ C(a, \frac{aB+C'}{A}), D(b, \frac{bB+C'}{A})}\). Teraz zapisz wektor DC za pomocą tych oznaczeń. Punkty D i C wybieraliśmy dowolnie, dlatego możemy założyć, że \(\displaystyle{ a-b=A}\), wtedy dostajesz, że druga współrzędna tego wektora to B. Każdy kolejny wektor prostopadły do danej prostej jest równoległy do tego wektora.

Ja bym tak do tego podeszła

velma pisze:Prosta prostopadła do danej ma przykładowo współczynniki kolejno B, -A, C' (to chyba wiesz dlaczego?). Obierz sobie na niej jakieś dwa punkty, np \(\displaystyle{ C(a, \frac{aB+C'}{A}), D(b, \frac{bB+C'}{A})}\). Teraz zapisz wektor DC za pomocą tych oznaczeń. Punkty D i C wybieraliśmy dowolnie, dlatego możemy założyć, że \(\displaystyle{ a-b=A}\), wtedy dostajesz, że druga współrzędna tego wektora to B. Każdy kolejny wektor prostopadły do danej prostej jest równoległy do tego wektora.

Ja bym tak do tego podeszła

Wlasnie , nie wiem jak to uzasadnic. W tym problem.

-- 19 sty 2016, o 22:48 --

Czy znalazła by się dobra dusza do wytłumaczenia mi zupełnych postaw geometrii analitycznej ? Głównie problem jest skąd ta prostopadłość na podstawie tych współczynników się bierze.

-- 20 sty 2016, o 08:49 --

Udało mi się wykazać ze iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych w postaci kierunkowej musi byc równy \(\displaystyle{ -1}\) ale, jak to zrobić z prostymi w postaci ogólnej?

-- 20 sty 2016, o 09:08 --

To że wektory \(\displaystyle{ \left[ A,B\right]}\) i \(\displaystyle{ -B,A}\) są prostopadle wykazalem z własności iloczynu skaparnego. Lecz jak odnieść to do współczynników prostej w postaci ogólnej, póki co zostaje pytaniem otwartym